5. Пример выполнения расчетной части работы

Пусть в результате проведения экспериментов на моделируемом объекте были получены значения отклика y в зависимости от значений фактора x, приведенные в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Значения экспериментальных данных

Построим график зависимости (рис. 5.1).

Рис. 5.1 Графики экспериментальной и полученной на модели зависимостей отклика от фактора

По виду графика (рис. 5.1) можно предположить, что между откликом у и фактором х существует приближенно линейная зависимость.

Рассчитаем средние значения и , а также коэффициент корреляции:

;

Остальные расчеты сведем в таблицу 5.2.

Таблица 5.2

Промежуточные расчеты для определения коэффициента корреляции

Тогда:

.

Для проверки гипотезы о значимости статистической линейной связи между откликом y и фактором x рассчитаем значение случайной величины , имеющей распределение Стьюдента:

.

По таблице (приложение 1) для числа степеней свободы , сравнивая расчетное и критические значения > , определим наименьший уровень значимости р, для которого выполняется указанное соотношение:

р = 0,25%,

при этом критическое значение . Сравнивая расчетное и критическое значение, видим, что > , (10,26>4.0293), значит, гипотеза о том, что связь статистически значима, принимается и для построения математической регрессионной модели можно использовать линейную функцию регрессии. Т.к. значение уровня значимости получено равным 0,25 %, то вероятность отвергнуть верную основную гипотезу (гипотезу о наличии статистически значимой линейной зависимости отклика от фактора) равна 0,25%, т.е. очень мала.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

,

т.е. на 93,7 % в среднем вариация отклика y объясняется за счет вариации фактора x и только 6,3 % влияния на отклик приходится на другие, неучтенные в уравнении факторы.

Используя программу "stat1", рассчитаем коэффициенты уравнения линейной регрессии A и B, расчетное значение критерия Фишера F и значения отклика ŷ_x для всех значений фактора x.

Результаты расчета по программе "stat1"

Значения элементов выборок

1 10,6

2 13,1

3 15,6

4 16,7

5 21,3

6 20,7

7 22,8

8 29,5

9 34,4

Уравнение регрессии: у =6,955558 +2,713333x

Дисперсии и F- критерий

Дисперсия, измеряющая общую вариацию D₀ = 471,3951

Дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия факторного признака x: D_x = 441,7306

Остаточная дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака y за счет действия всех факторов, кроме x: D_y = 4,237793.

F=104,236.

Корреляционный анализ

Выборочный коэффициент корреляции R=0,9680241

Квадрат смешанной корреляции R² =0,9370707

Стандартное отклонение несмещенной оценки σ(s) =2,05859

x=1 y=9,668891

x=2 y=12,38222

x=3 y=15,09556

x=4 y=17,80889

x=5 y=20,52222

x=6 y=23,23556

x=7 y=25,94889

x=8 y=28,66222

x=9 y=31,37556

Для проверки гипотезы об адекватности построенной модели иcпользуем таблицы (приложения 2-5), из которых выберем критическое значение критерия Фишера в зависимости от числа степеней свободы v1=q=1 и v2=n - q – 1 = 9-2=7 и уровня значимости таким образом, чтобы выполнялось соотношение: F  . Это соотношение выполняется при уровне значимости p= 1%, т.к. согласно таблице (приложение 5) =12,246.

Сравнивая расчетное и критическое значения критерия Фишера видим, что F=104,236  =12,246, т.е. гипотеза об адекватности модели принимается при уровне значимости p= 1 % и модель вида y=6,956+2,71x может быть принята для описания исследуемого объекта.

Построим график расчетной зависимости рис. 5. Из анализа двух графиков - экспериментального и рассчитанного на модели - можно сделать вывод о том, что они имеют достаточно близкие значения.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации (таблица 5.3):

.

Таблица 5.3