2136 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Локомотивы»

Математическое моделирование локомотивов в расчетах на эвм математическое моделирование в машиностроении

Методические указания

к выполнению расчетно-графической и контрольной работы

для студентов специальностей

190301 – Локомотивы и 190205 – Подъемно-транспортные,

дорожные, строительные машины и оборудование

очной и заочной форм обучения

Составители: В.С. Целиковская

А.В. Муратов

САМАРА

2008

УДК 629.4:001.57

Математическое моделирование локомотивов в расчетах на ЭВМ. Математическое моделирование в машиностроении: Методические указания к выполнению расчетно-графической и контрольной работы для студентов специальностей 190301 – Локомотивы и 190205 – Подъемно-транспортные, дорожные, строительные машины и оборудование очной и заочной формы обучения [Текст] / составители : В.С. Целиковская, А.В. Муратов. – Самара : СамГУПС, 2008. – 22 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Утверждено на заседании кафедры «Локомотивы» «14» мая 2008 г., протокол № 10.

Методические указания содержат материал, позволяющий студентам освоить метод построения математических моделей по данным пассивного или активного эксперимента с привлечением аппарата корреляционного и регрессионного анализа и проведением проверки на адекватность построенной модели.

Составители: Валентина Семеновна Целиковская

Алексей Владимирович Муратов

Рецензенты: начальник отдела службы технической политики Куйбышевской железной дороги Э.А. Ворошилов;

д. т. н., профессор кафедры «Локомотивы» СамГУПС А.Д. Росляков

Редактор И.А. Шимина

Компьютерная верстка М.Г. Кутлеметова

Подписано в печать 23.06.2008. Формат 60^*90 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 1,4.

Тираж 200 экз. Заказ № 100.

©Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

Введение

Одним из основных методов построения математических моделей объектов или явлений по экспериментальным данным является метод регрессионного анализа. Модели такого типа связывают зависимую (результирующую) переменную, называемую выходной или откликом, с одной или несколькими независимыми переменными, называемыми факторами, т.е. в общем случае эти модели представляют собой уравнение вида:

Определяемая в ходе анализа функция регрессии лишь формально устанавливает соответствие между переменными этих двух групп, хотя они в действительности могут и не состоять в причинно-следственных связях, что приводит к построению нонсенсрегрессионных моделей, не имеющих практического смысла. По этой причине перед построением модели на основе профессионально-логического анализа проблемы необходимо решить, какую из переменных рассматривать как отклик, а какие из регистрируемых величин считать факторами.

Вторым этапом при решении задачи построения модели является выбор ее структуры, т.е. вида аппроксимирующей функции . На практике, как правило, отсутствует априорная информация о структуре истинной модели, поэтому исследователь вынужден поочередно рассматривать различные виды регрессионных моделей и останавливаться на той, которая наилучшим образом согласуется с экспериментальными данными. Помощь в выборе структуры модели могут оказать графики, показывающие связь между откликом и факторами (если факторов не больше двух), а также проведение корреляционного анализа (расчет коэффициента корреляции и определение его значимости).

Задача множественного регрессионного анализа состоит в построении такого уравнения плоскости в - мерном пространстве, отклонения результатов экспериментов, от которой были бы минимальными, что равносильно минимизации выражения:

, (1)

где - полученные при i-м эксперименте значения отклика, - вычисляемые по уравнению регрессии значения отклика для i-го эксперимента, - число экспериментов.

Из соотношения (1) видно, что в основе регрессионного анализа лежит метод наименьших квадратов (МНК - метод).

Исходной для построения уравнения регрессии является матрица вида

где - число факторов: - значение -гo фактора в -ом эксперименте.

Когда модель построена, т.е. получены значения коэффициентов выбранного исследователем уравнения регрессии, необходимо проверить ее на адекватность. Проверка модели на адекватность традиционно включает два этапа:

- проверяется гипотеза о соответствии выбранной функции регрессии истинной функции регрессии;

- проверяется гипотеза о значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Первая гипотеза может быть проверена путем сравнения остаточной дисперсии со средней по критерию Фишера. Вторую гипотезу проверяют, используя критерий Стьюдента.

Проверку гипотез на основе ограниченного объема экспериментальной информации (на основе выборочных значений) называют статистической проверкой гипотез. При этом одну из гипотез выбирают в качестве основной, а другую - в качестве альтернативной (конкурирующей). Так, при проверке модели на адекватность в качестве основной выдвигают гипотезу о том, что модель адекватна экспериментальным данным, а в качестве альтернативной принимают гипотезу о том, что модель не соответствует данным эксперимента.

Очевидно, что при построении моделей в условиях выборки очень трудно делать безошибочные выводы. Поэтому при проверке гипотез различают ошибки первого и второго рода. Область, при попадании в которую экспериментальной точки отвергается основная гипотеза, называют критической. Вероятность отвергнуть верную основную гипотезу называют вероятностью ошибки первого рода или уровнем значимости критерия. Уровень значимости критерия должен быть достаточно малым, т.к. при этом высока надежность критерия, т.е. вероятность принять основную гипотезу, когда она верна:

где - уровень значимости; - вероятность принятия верной основной гипотезы.

Вероятностью ошибки второго рода называют вероятность отвергнуть верную конкурирующую гипотезу. Желательным свойством хорошего критерия является минимальное значение вероятности ошибки второго рода, т.к. при этом вероятность отвергнуть неверную основную гипотезу будет максимальной.

Уровень значимости критерия для определения его критического значения выбирается следующим образом. Если гипотеза очень правдоподобна и нужны веские аргументы, чтобы ее отвергнуть, то уровень значимости выбирают очень малым, например, 5 %, 1 %, 0.5 % и даже меньше. При наличии столь же правдоподобной альтернативной гипотезы уровень значимости следует выбрать равным вероятности ошибки второго рода.

Проверка гипотезы о значимости коэффициентов уравнения регрессии основывается на том, что отличие от нуля какого-либо коэффициента может быть вызвано присутствием шумовой компоненты в экспериментальных данных. При этом выдвигаются две гипотезы:

• коэффициент значимо отличается от нуля;

• коэффициент незначимо отличается от нуля.

В случае принятия второй гипотезы соответствующий фактор исключается из модели и модель рассчитывается заново.