33.Общая схема иследования функции и построение ее графика.

Общая схема исследования функции и построение его графика.

1 этап: а) D(y) и интервалы непрерывности б) если есть точки разрыва, найти односторонние пределы ф-ции в этих точках и изобразить на чертеже поведение ф-ции вблизи каждой точки разрыва. в) исследовать ф-цию на четность, нечетность, периодичность г)найти асимптоты графика ф-ции д) если нет наклонных асимптот, то изучить поведение ф-ции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения. е) найти точки пересечения графика с осями координат(если есть)

2 этап: а) найти первую производную f ’(x); б) найти критические точки (f ’(x)=0 или не существует ) в)найти интервалы возрастания и убывания г)найти точки max и min, вычислить значения ф-ции в этих точках

3этап: а) найти вторую производную f ’’(x) б)найти промежутки вогнутости и выпуклости в)найти точки перегиба (f ‘’(x)=0 или не сущ, но в окрестности точки меняет знак)

4 этап: Строить график с использованием полученных данных

34.Комплексные числа.

Определение. Комплексным числом называется число z=x+iy , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ; y - называется мнимой частью комплексного числа и обозначается y=ImZ;i- мнимая единица .Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.Действия над комплексными числами.Сравнение

a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

Вычитание

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

Умножение

(a+bi)·(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)i

Деление

В частности,

Формы записей1.Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x+iy, где x и y R, называется алгебраической формой комплексного числа. 2.Тригонометрическая форма

тригонометрической форме

z=r(cosφ+isinφ) 3.Показательная форма

z=re^iφ

Формула Муавра

zⁿ= , где r-модуль, а φ-аргумент комплексного числа

35.Действия над комплексными числами. Извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Z₁ = r₁(cosf₁+ isinf₁)

Z₂ = r₂(cosf₂+ isinf₂)

Z₁*Z₂ = r₁(cosf₁ + isinf₁) * r₂(cosf₂+ isinf₂) = r₁*r₂[(cosf₁*cosf₂- sinf₁*sinf₂) + (cosf₁*sinf₂+ sinf₁*cosf₂)i] =

= r₁*r₂[cos(f₁+ f₂) + sin(f1+ f₂)i]

Z₁/Z₂ = [r₁(cosf₁+ isinf₁)] / [r₂(cosf₂+ isinf₂)] = (r₁/r₂) * [(cosf₁+ isinf₁) * (cosf₂- isinf₂) / (cos2f₂+ isin2f₂)] =

= (r₁/r₂) * [cos(f₁- f₂) + sin(f₁- f₂)i]

Zⁿ = rⁿ(cosfn + isinfn)

Z^1/n= r^1/n[cos((f + 2*pi*k)/n) + isin((f + 2*pi*k)/n)], k = 0, 1, ..., n-1

Извлечение корня n–степени из комплексного числа определяем, как действие,обратное возведению

=z, или = - арифметический корень argu= ,к=0,1

= ,

Показательная форма комплексного числа

Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

z=r

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: