30.Локальные экстремумы функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на замкнутом промежутке.

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума,а значения функиции в этих точках-экстремумами функции

Исследование на экстремум:

1)находим область определения функции и интервалы непрерывности

2)Находим первую производную

3)Находим критические точки(производная равно 0 либо не существует) и наносим их на числовую прямую.

4)Определяем знак производной в каждой из полученных интервалов. Если производная больше нуля,то это интервал строгого возрастания функции, если же производная меньше нуля-интервал строгого убывания.

5)Устанавливаем,как меняется знак производной.Если при переходе слева направо через точку х ₒпроизводнаяменяетзнакс«-»на«+»,тохₒявляетсяточкойстрогогоминимума,если знак меняется с «+» на «-»,то точка х ₒявляетсяточкойстрогогомаксимума.

6) вычисляем значение функции в точках максимума и минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Точки наибольшего и наименьшего значения функции на некотором множестве Х,называются точками абсолютного экстремума этой функции на этом множестве.

Правило нахождения:

1. Находим критические точки функции,принадлежащие интервалу (а;b)

2. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка

Из полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее

31.Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба и их нахождения.

Ф-ция f(x)-выпуклая(вогнутая) на (a;b),если любая дуга ее графика(принадлежащая интервалу) расположена не выше (не ниже) стягивающей дугу хорды. Дифференцируемая ф-ция выпукла(вогнута) га интервале, если ее график расположен не выше(не ниже) любой касательной к нему.

Достаточные условия выпуклости и вогнутости ф-ции: если 2-ая производная во всех точкаъ интервала (a;b), то ф-ция y=f(x) выпукла(вогнута) на этом интервале. Если неравенства строгие, то и выпуклость(вогнутость) будет строгая.

Точки перегиба - точки непрерывности ф-ции, в которых вогнутость меняется на выпуклость или наоборот. Если -точка перегиба ф-ции, то точка ( )- точка перегиба этой ф-ции. В окрестности точки перегиба график диф. ф-ции лежит по разные стороны касательной к графику в точке перегиба. Достаточные условия существования точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак и ф-ция непрерывна в точке , то эта точка-точка перегиба функции, а точка M –точка перегиба графика ф-ции.

32.Асимптоты графика функции.

Асимптота кривой-прямая, расстояние до которой от точки, лежащей накривдой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика ф-ции y=f(x),если хотя бы один из односторонних пределов равен или : или

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика ф-ции y=f(x), если , что равносильно существованию конечных пределов y=b- уравнение горизонтальной асимптоты