11. Условие непрерывности в точке функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Непрерывность элементырных функций.

Условие непрерывности в точке функции одной переменной.Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если:(условия)1)функция f(x) определена в точке a и ее окрестности;2)существует конечный предел функции f(x) в точке a ;3)это предел равен значению функции в точке a , т.е. limf(x)=f(a)(при x стремящимся к a)Классификация точек разрыва.Точка разрыва первого рода функции y=f(x),если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа(односторонние пределы),т.е limf(x)=A1(при х стремящимся х₀-0) и limf(x)=A2(при х стремящимся х₀+0).При этом:а)если А1=А2,то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва; б)если А1 не равно A2,то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x),если по кайней мере один из односторонних пределов(слева или справа) не существует или равен бесконечности.

12.Свойство функций непрерывных на замкнутом промежутке.

Свойства функций,непрерывных на замкнутом промежутке,их примененение при исследовании уравнений и неравенств.

1)Если функция непрерывна на отрезке,то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

2)Если функция непрерывна на отрезке,то она ограничена на этом отрезке

3)Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B,то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

4)Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка c,в которой данная функция f(x) обращается в нуль:f(c)=0

13.Задачи приводящие к понятию производной.

Пусть функция определена на некотором интервале (а,b). Выберем точку .Выберем другую точку . Величина называется приращением аргумента. Найдём соответствующее приращение функции . Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и конечен.

14.Производная и ее связь с дифференциалом,геометрический и механический смысл. Уравнение касательной.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке, а операция производной называется дифференцированием . Функция, имеющая конечную производную в каждый точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Геометрический смысл производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М( .

Физический смысл производной Если S=S(t)-закон прямолинейного движения точки, то S^.(t₀)=V(t₀)- скорость движения в момент времени t_0. S^,,(t₀)=V^,(t₀)- ускорение-скорость изменения скорости в точке t₀.

Уравнение касательной y=f(x₀)+f^,(x₀)(x-x₀)

15.Дифференцируемость функции, связь с непрерывностью. Линеаризация и ее геометрический смысл.

Дифференцируемость функции Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Связь дифференцируемости и непрерывности функции Если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней. Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции y=f(x) в точке х₀ равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке х₀ ,когда аргумент получает приращение .

Линеаризации дифференциала при малых значениях приращение аргумента . Поэтому для приближённых вычислений пользуются формулой Это означает линеаризацию функции y=f(x), т.е. её замену линейной по функцией , что геометрически соответствует замене участка кривой y=f(x), примыкающего к точке (х₀;f(x₀)), отрезком касательной к кривой в этой точке.