4. Открытые множества на прямой ,плоскости и в пространстве. Окрестность точки. Определение предела функции. Свойство пределов.

Пусть х0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал(a;b),содержащий точку х0. В частности ,интервал(х0-ɛ,х0+ɛ),где ɛ>0, называется ɛ-окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число ɛ-радиусом.Если х Є (х0-ɛ;х0+ɛ),то выполняется неравенство х0-ɛ<х<х0+ɛ, или, что то же,|x-x0|<ɛ. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в ɛ-окрестность точки х0.Число b называется пределом функции y=f(x) при х -->a ,если для любой окрестности B(b) точки b найдётся такая проколотая окрестность B̂(a) точки a,что как только хЄ В̂(a), то f(х)Є В(b), что обозначается b=limf(x) или f(x)-->b при x-->a(f(x) стремится к b при х, стремящегося к а)b=limf(x) ó B(b) B̂(a) (xЄB̂(a) =>f(x) Є B(b)) на языке «ɛ» , «δ» ( ɛ> 0 Ǝδ>0 x: |x-x0| <δ,x≠x0 => |f(x)-A|<ɛ) ólimf(x)=A. Предел последовательности :если члены одной последовательности являются членами другой последовательности,то 1 по отношению ко 2 называется последовательностью.Теорема:А)лемо о выборе: из всякого ограниченного числового множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.Б) об ограниченной монотонной последовательности: Ограниченная монотонная последовательность сходится в частности огран. сверху неубыв. послед. сходится точно так же как и огран. снизу невозрастающая.

5. Предел функции одной переменной на языке окрестности

Число b называется пределом функции y=f(x) при х -->a ,если для любой окрестности B(b) точки b найдётся такая проколотая окрестность B̂(a) точки a,что как только хЄ В̂(a), то f(х)Є В(b), что обозначается b=limf(x) или f(x)-->b при x-->a(f(x) стремится к b при х, стремящегося к а) b=limf(x) ó B(b) B̂(a) (xЄB̂(a) =>f(x) Є B(b)) на языке «ɛ» , «δ»( ɛ> 0 Ǝδ>0 x: |x-x0| <δ,x≠x0 => |f(x)-A|<ɛ) ólimf(x)=A. Предел последовательности:если члены одной последовательности являются членами другой последовательности ,то 1 по отношению ко 2 называется последовательностью.Теорема:А)лемо о выборе: из всякого ограниченного числового множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.Б) об ограниченной монотонной последовательности: Ограниченная монотонная последовательность сходится в частности огран. сверху неубыв. послед. сходится точно так же как и огран. снизу невозрастающая.

6.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции :Функция у=f(x) называется бесконечно малой при xàx0, если =0Функция у=f(x) называется бесконечно большой при xàx0, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0,что для всех х,удовлетворяющих неравенству 0<|х-х0|<δ,выполняется неравенство |f(x)|>M.Записывают или f(x)->∞ при x->x0. Коротко: ( M>0 δ>0 x: |x-x0|<δ, x≠x0=>|f(x)>M)ó Теоремы:1)Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Следствие: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (2) вытекает: произведение двух б.м.ф.есть функция бесконечно малая. 2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. Следствие: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.3)Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.4) Если функция α(х) – бесконечно малая (α≠0), то функция есть б.б.ф. и наоборот: если функция f(x)- б.б.,то –б.м.Примеры:1)Пусть =0, ≠0 .Функция может быть представлена в виде произведение б.м.ф. α(х) на ограниченную функцию . Но тогда из теоремы (2) вытекает, что частное =α(x)* есть функция бесконечно малая.2)Пусть α(x) есть б.м.ф. при хàx0, т.е. =0. Тогда ( ε>0 δ>0 x: 0<|x-x0|<δ)=> |α(x)|<ε, т.е. > , т.е. >М, где М= . А это означает, что функция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.3)функция есть б.б.ф. при x->2.Основные теоремы о пределах:1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: 2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов