75. Поверхности второго порядка и их классификация.

Поверхности второго порядка – поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени.1.Эллипсоид Если полуоси эллипсоида различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны, то трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения.2. Однополостный гиперболоид 3. Двухполостный гиперболоид 4. Эллиптический параболоид 5. Гиперболический параболоид 6. Конус второго порядка

76.Определение функции нескольких переменных.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Множество D называется областью определения функции. Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.Предел и непрерывность ФНП. Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если  (1)причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).Не существует предел : Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

77.Частные производные и частные дифференциалы фнп.

Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  по x к приращению  при стремлении   к нулю, т.е. Частная производная обозначается одним из символов .Аналогично определяется частная производная по y: .Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

78.Производные сложных и неявно заданных функций. Примеры.

Если в уравнении вида   каждой паре чисел   и   из некоторой области соответствует одно или несколько значений  , удовлетворяющих этому уравнению, то уравнение   неявно определяет одну или несколько однозначных функций   от   и  . В этом случае говорят, что   есть неявная функция от  и  .Частные производные   и   неявной функции находятся по формулам (предполагается, что ): . Производная сложной ФНП.Предположим, что в уравнении z=z   и   являются функциями независимых переменных   и  : . В этом случае говорят, что   есть сложная функция от аргументов   и  .Если функции   имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам, то. ;

79. Понятие дифференцируемости функций двух переменных. Полный дифференциал.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М (х;у). Приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке М (х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

,где и при . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

80.Производная по направлению. Градиент.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении. С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.Обозначается: .Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции fв точке по направлению следующим образом: Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора