73.Угол между прямой и плоскостью условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Расположение	Условия
Прямая l параллельна плоскости Q	l ‖Q <=> ⊥ <=>Am + Bn + Cp=0
Прямая l перпендикулярна плоскости Q	l ⊥ Q<=> ‖ <=> = =
Прямаяl образует с плоскостью Q угол ϕ ^	sinϕ= cos ( ^ )=

74. Поверхность в пространстве. Поверхности вращения, цилиндрические, конические и их примеры.

1.Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О 1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О 1 на расстоянии R .2. Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в её плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая прямая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишутся в виде Возьмём на поверхности произвольную точку М( x;y;z). Проведём через т. М плоскость, перпендикулярную оси Оz, и обозначим точки пересечения с осью Оz и кривой L соответственно через О 1 и N. Обозначим координаты точки N(0;y1;z1). Отрезки О1М и О1N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому О1М=О1N. Но О1М= , О1N= . Следовательно, = или у1 = ± . Кроме того . F( ± ;z )=0 - yравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. 3. Поверхность образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L ( не проходящую через Р), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р- её вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.Пусть направляющая L задана уравнениями , а точка Р ( )- вершина конусаВозьмём на поверхности конуса произвольную точку М . Образующая, проходящая через т. М и Р, пересечёт направляющую L в некоторой точке N(х1;y1;z1). Координаты т. N удовлетворяют уравнениям направляющей: . Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N имеют вид .4.Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L его образующей. Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой F(x;y)=0. Построим цилиндр с образующими параллельными оси Оz и направляющей К. Возьмём на цилиндре любую т. М . Она лежит на какой-то образующей. Пусть N- точка пересечения этой образующей с плоскостью Оху. Следовательно ,т.N лежит на кривой К и её координаты удовлетворяют уравнению F(x;y)=0. Этому уравнению удовлетворяют координаты т. М .И так как М- любая точка цилиндра, то F(x;y)=0 и будет уравнением цилиндра.