53.Координаты вектора.Векторное пространство.
Обычно
на плоскости(в пространстве) в качестве
базисных векторов берут декартовы орты
декартовы единичные векторы i͢j
–на плоскости i͢jk͢͢
- в пространстве.
Координаты вектора
Векторное
пространство Rn
Множество векторов на плоскости и в пространстве , заданных своими координатами, с линейными операциями покоординатного сложения и умножения на числа допускает естественное обобщение на случай n координат, когда векторы рассматриваются как элементы n-мерного (числового) пространства Rn. Обычно пространство Rn отождествляется с множеством матриц-столбцов размера n×1 со стандартными операциями сложения матриц и умножения их на числа: Rn= Rn+1 .
54.Проекция вектора на ось.Свойства проекции.
Проекция вектора α на ось l наз. число, равное произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью; обозначается прlα.
Тогда прoxOM=|OM|cosα=x, прoyOM=|OM|cosβ=y.
Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол- прямой.
Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Свойства проекций
,
.
,
где
Если
,
,
Проекция
суммы векторов на ось
равна
сумме проекций векторов на
55.Скалярное произведение векторов.
Скалярное
произведение векторов
и
это произведение модулей этих векторов
на косинус угла
^
=ϕ
между ними:
Если
векторы заданы в прямоугольной декартовой
системе координат
, то
Свойства:
1).
2).
=
3).
2
4)
Пример:
Две силы
и
приложены в точке М
Вычислить работу их равнодействующей
по перемещению материальной точки из
М в N(3;8;5).
Решение:
Найдём координаты равнодействующей
сил
и вектора перемещения
=
Тогда
работа равна A=
56.Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
Некоторые приложения скалярного произведения:
1) условие ортогональности (перпендикулярности) ненулевыхвекторов:
xaxb+yayb+zazb=0;
2) косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен:
;
3)
работа A
постоянной
по величине и направлению силы
по
перемещению материальной точки на
вектор
равнаA
=
(физический смысл скалярного произведения).
57.Векторное произведение векторов.Основные свойства.
Три
некомпланарных, упорядоченных вектора
приведенные к общему началу, называют
правой
тройкой
векторов, если кратчайший поворот от
k
виден
из конца вектора
противхода
часовой стрелки.
Если же этот поворот виден по ходу часовой стрелки, то тройка векторов называется левой.
Декартов
базис
образует
правую тройку.
Векторным произведением вектора на называетсявектор
=
,
обладающий свойствами:
1)
;
2)
образуют правую тройку;
3)
Свойства векторного произведения
1.
Если
то
2.
3.
4.
5.
Площади параллелограмма и треугольника
Пример.
Найти единичный вектор
Решение.
Вектор
.
Найдем его:
Модуль
вектора
равен
Следовательно,
единичные векторы, перпендикулярные
58.выражение вектороного произведения через координаты сомножителя.
если
то
59.Угол между векторами. условие коллинеарностии ортогональности.
) Угол между векторами:
;
2) Условие ортогональности (перпендикулярности) ненулевых векторов:
3) Условие коллинеарности:
60.Смешанное произведение векторов, определение свойств, геометрический смысл.
Смешанное
произведение векторов: определение,
свойства, геометрический смысл.
Смешанным произведением
трех векторов
называется
скалярное произведение вектора
и вектора
.
По определению
Свойства
смешанного произведения:
1)
2)
3)
компланарны.
Геометрический смысл:
,
61.Выражение смешенного произведения через координаты сомножителей.
Если
векторы
заданы своими координатами
=
{
}
={
}
={
}
, то смешанное произведение
определяется формулой
=
Доказательство:
имеем
=
(
x
)
x
=
Умножая скалярно
=
{
}
на вектор
x
получаем:
=
62.Приложение векторов к решению задач. деление отрезка в данном отношении, расстояние между точками,вычисление площади треугольника,работысилы,объема параллелепипеда.
Расстояние
между точками:
если даны две точки плоскости
и
то расстояние между ними (отрезок АВ)
равно:
А
если в пространстве
и
.Деление
отрезка заданного отношения: если
известны две точки плоскости
то координаты точки М
,
которая делит отрезок АВ в отношении
выражаются формулами:
.Вычисление
площади треугольника:
(основание
на боковую сторону).
Объём параллелепипеда:
Работа
силы:
,где
-
вектор силы
- перемещение