46.Определители второго и третьего порядка,их вычисления и основные свойства.

Определители второго и третьего порядка, их вычисление и основные свойства. Определитель – это числовая характеристика квадратной матрицы; обозначается символами detA, или буквами D, .Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: .При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом: = Основные свойства определителей: Свойства определителей разберем на примере определителей 2-го и 3-го порядка. 1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонированииDet  = det , где  =  ,  =

 - обозначение транспонированной матрицы  .Транспонирование – это процедура, связанная с заменой строк матрицы на столбцы  =   = 

Из первого свойства следует, что любое свойство, сформулированное для строк определителя, справедливо и для столбцов, и - наоборот. 2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два столбца (строки)

 =   =   =  3. Определитель равен нулю, если содержит нулевой столбец (строку)  = 0.4. Определитель равен нулю, если содержит два одинаковые столбца (строки)  =   = 0

5. Коэффициент, на который умножены все элементы некоторого столбца (строки) можно выносить за определитель, как множитель  =  6. Определитель равен нулю, если содержит пропорциональные столбцы (строки)  = 0 ó   =   = 0 (см. свойство 4)

7. Если в определителе каждый элемент некоторого i-го столбца представлен суммой двух слагаемых, тогда данный определитель может быть представлен суммой двух определителей того же порядка.Столбцы полученных определителей, кроме i-го столбца, совпадают со столбцами исходного определителя. I-й столбец первого полученного определителя состоит соответственно из первых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя. I-й столбец второго полученного определителя состоит соответственно из вторых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.  =   +  В силу свойства 1, данное свойство справедливо и для строк. Утверждение 3Определитель не изменится, если к одному из его столбцов прибавить другой его столбец, умноженный на константу (см. свойства 7,6). В силу свойства 1, данное утверждение справедливо и для строк. 8. Определитель равен нулю, если один из его столбцов (строк) представляет собой линейную комбинацию некоторых других столбцов (строк). Рассмотрим определитель ;У которого третий столбец представляет собой линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами И  :  =   + 

 = 0 ó  =   +   = 0 + 0

47.Определение условие существования и вычисления обратной матрицы.

Определение, условие существования и вычисление обратной матрицы.Матрица  называется обратной для квадратной матрицы А, если

где Е – единичная матрица того же порядка, что и А. Матрицу   называют обратимой, если для нее существует обратная, в противном случае — необратимой.. Если определитель матрицы   равен нулю  , то для нее не существуетобратной.Найти обратную матрицу для .1. Вычислить определитель. . Определитель не равен нулю, поэтому обратная матрица существует2. Вычислить алгебраические дополнения для каждого элемента.Алгебраическое дополнение для левого верхнего элемента ( для 1 ). Он стоит в первой строке и первом столбце. Мысленно вычеркнем их. Останется 5. Поэтому алгебраическое дополнение .Алгебраическое дополнение для 2 ( 1-я строка, 2-й столбец ): .

Алгебраическое дополнение для 2 ( 2-я строка, 1-й столбец ): .Алгебраическое дополнение для 5 ( 2-я строка, 2-й столбец ): .3. Составить матрицу из алгебраических дополнений. .4. Транспонировать матрицу   из шага 3. . 5. Умножить матрицу   на число, обратное определителю. Определитель у нас был равен 1. .