41.Алгоритм интегрирования рациональных функций.

Примеры. 1. Представляем функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.(Делим числитель на знаменатель) 2.Раскладываем знаменатель на неприводимые множители(линейные и квадратичные, не имеющие действительных корней) 3.Записываем теоретическое разложение полученной функции на простейшие. 4. Находим неопределенные коэффициенты. 5.Интегрируем функцию. Пример:

| |

42.Интегрирование функции рационально зависящих от тригонометрических.

Рациональной функцией R (u;v) 2-х переменныхuиvназывает отношение многочленов P(u;v) и Q(u;v) двух переменных uиv

, , , .(универсальная тригонометрическая подстановка)

Если функция R(sinx;cosx) нечетна относительно sinx, т.е.R(-u;v)=-R(u;v), то подстановка cosx=t;

Если функция R(sinx;cosx) нечетна относительно cosx, т.е.R(u;-v)=-R(u;v), то подстановка sinx=t;

Если функция R(sinx;cosx) удовлетворяет свойствуR(-u;-v)=-R(u;v), то применима подстановка tgx=t, при этом , , . Для интегралов вида , где m и n – целые числа, используются след. Приемы:1) подстановка sin x = t , если n– нечетное число; 1) подстановка cosx= t, если m – нечетное число;3) формулы , , , если m и n –четные числа;4)Подстановка tgx=t,если m+n – отрицательное четное число.

43.Метод рационализации при интегрировании простейших иррациональных функций.

Интегралы типа dx,где m₁, ..., mk –целые; n1, ..., nk – натуральные; a, b, c, d – действи-

тельные числа, причем c2 + d2 ≠ 0 , сводятся к интегралам от ра-

циональной функции путем подстановки (заменой переменной):

Тогда

и ,

где v=HOK{n₁ …n_k}– наименьшее общее кратное знаменате-

лей дробей

.

В частности, интегралы вида ∫R(x; ; ...; )dx, где подын-

тегральная функция R(x; ; ...; )– рациональная функция

своих аргументов, рационализуются заменой переменной

x= t^v,dx=νt^v-1 dt,

где ν = НОК{k, ..., m}.

44.Интеграл типа

типа ∫R(x; )dx, где a, b, c– дей-

ствительные числа, причем a ≠ 0 , R(u; v) – рациональная функция переменных u, v. Подстановка позволяет выделить полный квадрат под знаком корня. В результате исходный интеграл преобразуется к одному из следующих трех типов, которые с помощью дальнейших подстановок сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций:

=

45.Матрицы.Основные понятия и действия над матрицами.

Матрицей размера m×nназывается прямоугольная таблицачисел (или других математических объектов) – элементов матрицы, расположенных в m строках и n столбцах:

aij– элемент, принадлежащий i-й строке и j-му столбцу матрицы; числа i, j называются индексами элемента.

Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами:

A, B, Cи т. д. или A= , если указываются элементыи размер матрицы. Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы:A= B⇔a_ij= b_ij=i=1,m, j=1,n.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называетсянулевой. Она обозначается O_mxn. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица раз-мераn×n. В квадратной матрице элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nmобразуют главную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все ееэлементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Обозначается n I или n E . Например,

– единичная матрица 3-го порядка. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строкистолбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к матрице A= ,обозначают где bij= aji; i= 1, ..., m; j= 1, ..., n.

Если исходная матрица имеет размер m×n, то транспонированная к ней будет иметь размер n×m. Например,

Действия над матрицами

Суммой (разностью) C= A+ B(C= A− B) двух матриц называется такая матрица , элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц A и B, т. е. ( ), i= 1, m, j= 1, n. Отметим, что складываются матрицы одинаковых размеров.

Произведением матрицы на число λ (или числа λна матрицу A) называется матрица , элементы которойравны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на λ,т. е. c_ij= λ⋅a_ij, i=1, m, j=1, n. Записывают C = λ ⋅A или C = A⋅ λ . Операции сложения, вычитания и умножения на число называют линейными операциями над матрицами. Выражение αA + βBназывается линейной комбинацией матриц A и B.

Произведением матрицы A размера m×sна матрицу B размера s×nназывается матрица C размера m×n, элементы которойравны cij= ai1b1j + ai2b2j + … + aisbsj, т. е. чтобы получить cij, нужно элементы i-й строки A умножить на соответствующие элементыj-го столбца B и полученные произведения сложить. Согласно этому определению, произведение матриц существует, если число столбцов первой из них равно числу строк второй. Например,C=

Элемент c₁₁ получаем, умножив элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы Bи сложив эти произведения, т. е. c₁₁= 3 ⋅(−1) + 2 ⋅2 = −3 + 4 =1. Аналогично C₁₂= 3 ⋅3 + 2 ⋅(−2) = 5; c₁₃= 3⋅1+ 2 ⋅5 =13; c₂₁=1⋅(−1) + 4 ⋅2 = 7; c₂₂= =1⋅3 + 4 ⋅(−2) = −5; c₂₃=1⋅1+ 4 ⋅5 = 21. Из определения произведения матриц следует, что не всякиематрицы можно перемножить. Например, произведение не существует, т. к. строка матрицы B_2x3содержит 3 элемента, астолбец матрицы A_2x2только 2 элемента. Для квадратных матриц одного порядка оба произведенияA⋅B и B ⋅A существуют, но в общем случае A⋅B ≠ B ⋅A. Например,

, а .