Критерий t-стьюдента для одной выборки

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что среднее значение изучае­мого признака М_х отличается от некоторого известного значения А. Проверя­емая статистическая гипотеза: Н₀: М = А. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что М_х меньше (больше) А.

Исходное предположение: распределение признака в выборке приблизитель­но соответствует нормальному виду.

Структура исходных данных: значения изучаемого признака определены для каждого члена выборки, которая репрезентативна изучаемой генеральной со­вокупности.

Альтернатива методу: нет.

Формула для эмпирического значения критерия t-Стьюдента (2):

П РИМЕР РАСЧЕТА

Предположим, исследовалось влияние условий воспитания в детском доме на ин­теллектуальное развитие детей. При использовании стандартного теста интеллекта для случайной выборки воспитанников детдома были получены следующие результаты: М = 106; σ = 15; N = 36. Исследователя интересовало, превышает ли интел­лект воспитанников детдома нормативный показатель А = 100. Для принятия ста­тистического решения был определен уровень α = 0,05.

Ш a г 1. Вычисляем по формуле (2) эмпирическое значение критерия и число сте­пеней свободы: t_э = 2,4; df= 35.

Ш а г 2. Определяем по таблице критических значений критерия f-Стьюдента р-уровень значимости. Для df = 35 эмпирическое значение находится между критическими для р = 0,05 и р = 0,01. Следовательно, р < 0,05.

Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистичес­кая гипотеза о равенстве среднего значения заданной величине отклоняется. Ин­теллект воспитанников детдома (М= 106; σ = 15; N= 36) статистически достоверно превышает нормативный показатель интеллекта А = 100 (р < 0,05).

Критерий t-стьюдента для независимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга. Допущение независимости предполагает, что представители двух выборок не составляют пары коррелирующих значений признака. Это предположение нарушилось бы, если, например, 1-я выборка состояла из мужей, а 2-я — из их жен, и два ряда значений измеренного при­знака могли бы коррелировать.

Проверяемая статистическая гипотеза Н₀: М₁ = М₂. При ее отклонении при­нимается альтернативная гипотеза о том, что М₁ больше (меньше) М₂.

Исходные предположения для статистической проверки:

□ одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной со­вокупности;

□ распределение изучаемого признака и в той, и в другой выборке при­близительно соответствует нормальному;

□ дисперсии признака в двух выборках примерно одинаковы (гомогенны).

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых независимых выборок.

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке суще­ственно не отличаются от нормального; в случае разной численности сравнива­емых выборок их дисперсии статистически достоверно не различаются (про­веряется по критерию F-Фишера — при вычислениях «вручную», по критерию Ливена — при вычислениях на компьютере).

Альтернатива методу: непараметрический критерий U-Манна-Уитни — если распределение признака хотя бы в одной выборке существенно отлича­ется от нормального и (или) дисперсии различаются статистически достоверно.

Ф ормулы для эмпирического значения критерия t-Стьюдента:

(3) или (4)

Первая формула применяется для приближенных расчетов, для близких по численности выборок, а вторая формула — для точных расчетов, когда выбор­ки заметно различаются по численности. ПРИМЕР 11.3

П редположим, изучалось различие в интеллекте студентов 1-го и 5-го курсов. Для этого случайным образом были отобраны 30 студентов 1 курса и 28 студентов 5 курса, у которых интеллект определялся по одной и той же методике. Были получены сле­дующие результаты:

Гипотеза о различии интеллекта проверялась на уровне α = 0,05.

Ш а г 1. Вычисляем эмпирическое значение критерия t-Стьюдента по формуле (3): t_э = 2,06 (по формуле (4): t_э = 2,17); df = 56.

Ш а г 2. Определяем по таблице критических значений критерия t-Стьюдента р-уровень значимости. Для df = 56 эмпирическое значение находится между критическими для р = 0,05 и p = 0,01. Следовательно, р < 0,05.

Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистичес­кая гипотеза о равенстве средних значений отклоняется. Вывод: интеллект студентов 5 курса статистически достоверно выше, чем у студентов 1 курса (р < 0,05).

t-критерий Стьюдента для зависимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые зависимые вы­борки, отличаются друг от друга. Допущение зависимости чаще всего значит, что признак измерен на одной и той же выборке дважды, например, до воз­действия и после него. В общем же случае каждому представителю одной вы­борки поставлен в соответствие представитель из другой выборки (они по­парно объединены) так, что два ряда данных положительно коррелируют друг с другом. Более слабые виды зависимости выборок: выборка 1 — мужья, вы­борка 2 — их жены; выборка 1 — годовалые дети, выборка 2 составлена из близнецов детей выборки 1, и т. д.

Проверяемая статистическая гипотеза, как и в предыдущем случае, Н₀: М₁ = М₂. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что М₁ больше (меньше) М₂.

Исходные предположения для статистической проверки:

• каждому представителю одной выборки (из одной генеральной совокупно­сти) поставлен в соответствие представитель другой выборки (из другой генеральной совокупности);

• данные двух выборок положительно коррелируют;

• распределение изучаемого признака и в той и другой выборке соответству­ет нормальному закону.

Структура исходных данных: имеется по два значения изучаемого признака для каждого объекта (для каждой пары).

ПРИМЕР

При сравнении значений признака Х до воздействия (Х₁) и после воздействия (Х₂) на выборку численностью N:

№	Хх	Хг
1	8	10
2	8	9
3	3	4
4	5	5
...	...	...
N	6	7

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке суще­ственно не отличаются от нормального; данные двух измерений, соответству­ющих той и другой выборке, положительно коррелируют.

Альтернативы: критерий Т-Вилкоксона, если распределение хотя бы для одной выборки существенно отличается от нормального; критерий t-Стьюдента для независимых выборок — если данные для двух выборок не корре­лируют положительно.

Формула для эмпирического значения критерия t-Стьюдента отражает тот факт, что единицей анализа различий является разность (сдвиг) значений при­знака для каждой пары наблюдений. Соответственно, для каждой из N пар значений признака сначала вычисляется разность d_i = х_1i - x_2i.

(5)

где M_d – средняя разность значений; σ_d – стандартное отклонение разностей.