Параметрические методы сравнения двух выборок

Сравнение двух выборок по признаку, измеренному в метрической шкале, обычно предполагает сравнение средних значений с использованием параметри­ческого критерия t-Стьюдента. Следует различать три ситуации по соотноше­нию выборок между собой: случай независимых и зависимых выборок (измере­ний признака) и дополнительно — случай сравнения одного среднего значения с заданной величиной (критерий f-Стьюдента для одной выборки).

К параметрическим методам относится и сравнение дисперсий двух выборок по критерию F-Фишера. Иногда этот метод приводит к ценным содержатель­ным выводам, а в случае сравнения средних для независимых выборок срав­нение дисперсий является обязательной процедурой.

При сравнении средних или дисперсии двух выборок проверяется нена­правленная статистическая гипотеза о равенстве средних (дисперсий) в ге­неральной совокупности. Соответственно, при ее отклонении допустимо принятие двусторонней альтернативы о конкретном направлении различий в соответствии с соотношением выборочных средних (дисперсий). Для приня­тия статистического решения в таких случаях применяются двусторонние кри­терии и, соответственно, критические значения для проверки ненаправлен­ных альтернатив.

Сравнение дисперсий

Сравнение дисперсий. Метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии двух генераль­ных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отлича­ются друг от друга. Проверяемая статистическая гипотеза Н₀: σ₁² = σ₂². При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что одна дисперсия больше другой.

Исходные предположения: две выборки извлекаются случайно из разных ге­неральных совокупностей с нормальным распределением изучаемого признака.

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых выборок.

ПРИМЕР

При сравнении мужчин (1) и женщин (2) по уровню тревожности:

№	Х(пол)	К (тревожность)
1	1	10
2	2	9
3	2	3
4	1	8
	...
N	I	6

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке суще­ственно не отличаются от нормального.

Альтернатива методу: критерий Ливена (Levene'sTest), применение которого не требует проверки предположения о нормальности (используется в программе SPSS).

Ф ормула для эмпирического значения критерия F-Фишера:

(1) где σ₁² — большая дисперсия, a σ₂² — меньшая дисперсия. Так как заранее не известно, какая дисперсия больше, то для определения р-уровня применяется Таблица критических значений для ненаправленных альтернатив. Если F_э > F_Kp для соответствующего числа степеней свободы, то р < 0,05 и статистическую гипотезу о равенстве дисперсий можно отклонить (для α = 0,05).

Метод может применяться для проверки предположения о равенстве (го­могенности) дисперсий перед проверкой достоверности различия средних по критерию t-Стьюдента для независимых выборок разной численности. Одна­ко содержательная интерпретация статистически достоверного различия дисперсий может иметь и самостоятельную ценность.

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ_

Детям давались обычные арифметические задания, после чего одной случайно выбранной половине учащихся сообщали, что они не выдержали испытания, а ос­тальным — обратное. Затем у каждого ребенка спрашивали, сколько секунд ему потребовалось бы для решения аналогичной задачи. Экспериментатор вычислял разность между называемым ребенком временем и результатом выполненного за­дания (в сек.). Ожидалось, что сообщение о неудаче вызовет некоторую неадекват­ность самооценки ребенка. Проверяемая гипотеза (на уровне α = 0,005) состояла в том, что дисперсия совокупности самооценок не зависит от сообщений об удаче или неудаче (Н₀: σ₁²=σ₂²).

Были получены следующие данные:

Ш а г 1. Вычислим эмпирическое значение критерия и числа степеней свободы по формулам (1):

Шаг 2. По таблице критических значений критерия f-Фишера для ненаправлен­ных альтернатив находим критическое значение для df_числ = 11; df_знам = 11. Однако критическое значение есть только для df_числ = 10 и df_знам = 12. Боль­шее число степеней свободы брать нельзя, поэтому берем критическое значение для df_числ = 10: Для р = 0,05 F_Kp = 3,526; для р = 0,01 F_Kp = 5,418.

Ш а г 3. Принятие статистического решения и содержательный вывод. Поскольку эмпирическое значение превышает критическое значение для р = 0,01 (и тем бо­лее — для р = 0,05), то в данном случае р < 0,01 и принимается альтернативная гипо­теза: дисперсия в группе 1 превышает дисперсию в группе 2 (р < 0,01). Следователь­но, после сообщения о неудаче неадекватность самооценки выше, чем после сооб­щения об удаче.