Блок-схеми процедур Matrix і Vector представлені на рис. 2.5

Формальні параметри процедур Matrix і Vector:

Kpol - порядок апроксимуючого полінома;

Jm - кількість кроків на відрізку апроксимації;

T - вектор значень додаткової незалежної змінної t (час), значення якої на початку відрізку апроксимації дорівнює 0, а наприкінці відрізку дорівнює J;.

X - вектор значень впливу;

A, K - задані коефіцієнти рівняння;

a₀ – коефіцієнт полінома, апроксимуючого рішення, прийнятий по початкових умовах;

MA - матриця коефіцієнтів;

MB - вектор правої частини.

2.9. Схеми рішення рівняння Y()=KX()

Схеми чисельного рішення рівняння (1.4) або (2.18) відрізняються від розглянутих схем рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку (1.1).

. (2.18)

Використовуючи загальноприйнятий спосіб різницевої апроксимації першій похідній і відносячи значення X до різних моментів часу одержимо:

аналогічно явній різницевій схемі , (2.19)

аналогічно неявній різницевій схемі , (2.20)

аналогічно схемі трапецій . (2.21)

В аріанти схем аналітико-сіткового методу для рішення (2.18) можна одержати аналогічно рішенню рівняння (1.1). У межах відрізку інтегрування використається нова координатна вісь t, як показана на рис. 2.6, та проводиться рішення рівняння (2.4)

. (2.22)

Не залежно від характеру зміни X, на відрізку інтегрування (постійне значення Χ(t)=0,5*(Χ_i-1+ Χ_i) або лінійна зміна від Χ_i-1 до Χ_i ) одержимо для аналітико-сіткового методу:

. (2.23)

Коли здійснюється перехід від звичайного диференціального рівняння високого порядку до системи рівнянь першого порядку й використовується підстановка (1.4), тоді K=1.

Стійкість схем (2.19) - (2.21) і (2.23) забезпечується, оскільки коефіцієнт при Χ_i-1 дорівнює 1 і отже немає нагромадження погрішності від одиничного збурювання в момент часу _i-1.

2.10. Оцінка ефективності чисельних методів

Вибір чисельного методу для рішення конкретної задачі залежить від багатьох факторів. При виборі чисельного методу в першу чергу варто звертати увагу на його стійкість. Це особливо важливо при рішенні складних систем рівнянь або при рішенні нелінійних задач. Виходячи з необхідності забезпечити мінімальну погрішність рішення перевагу варто віддавати аналітико-сітковим і проекційним методам.

Загальна порівняльна оцінка ефективності чисельних методів використаних для рішення звичайних диференціальних рівнянь першого порядку наведена в таблиці 2.1. Ці оцінки є результатом рішення великої кількості прикладних задач.

Таблиця 2.1 - Оцінка ефективності чисельних методів

Метод	Оцінка абсолютної стійкості	Рівень погрішності в порівнянні із проекційним методом
Явний різницевий метод		15 - 25
Неявний різницевий метод	Стійкий	10 - 20
Метод трапецій		5 - 15
Аналітико-сітковий метод з постійним впливом на інтервалі інтегрування	Стійкий	5 - 15
Аналітико-сітковий метод з лінійним впливом на інтервалі інтегрування	Стійкий	5 - 10
Метод Рунге- Кутта 4 порядку		5 - 12
Проекційний метод	Стійкий	1

де τ – крок інтегрування.

Слід зазначити, що при використанні проекційного методу, апроксимація рішення на відрізку інтегрування здійснювалася поліномами невисоких ступенів (3 - 5).

При наявності стрибкоподібної зміни впливів або характеристик досліджуваних об'єктів здійснюється переміщення границь відрізків інтегрування, що легко забезпечити програмними засобами.