1. Постановка задачі

При дослідженні перехідних процесів в лінійних або нелінійних детермінованих динамічних системах із зосередженими параметрами звичайно використовують математичні моделі у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) вигляду

; , (1.1)

; , (1.2)

де - час;

X() - вплив на об'єкт;

У() - реакція об'єкту;

А, B, K – коефіцієнти властивості об'єкту.

У загальному випадку коефіцієнти А, B, K можуть бути функціями часу або рішення (параметрів процесу).

Рівняння (1.1) можна представити у формі Коші (1.4)

. (1.3)

Математична модель об'єкту окрім звичайних диференціальних рівнянь вигляду (1.1), (1.2), (1.3) може включати алгебраїчні рівняння та звичайні диференціальні рівняння вищого порядку.

В цьому випадку для заміни диференціальних рівнянь порядку 2 і вище вводиться нова змінна вигляду (1.4), що дозволяє привести рівняння порядку 2 і вище до системи рівнянь вигляду (1.1) і (1.4).

. (1.4)

Загальний алгоритм рішення одержаної системи диференціальних рівнянь полягає в переході від системи диференціальних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь, одержаною шляхом використовування різницевих схем або проекційних методів.

Для ілюстрації різницевих підходів розглядається рішення рівняння (1.1)

.

Для організації чисельного рішення (1.1) або (1.4) в області інтегрування (область у якій шукається рішення) організується сітка (Рис.1.1), у вузлах якої задаються значення X та визначаються значення шуканої величини Y (тобто шукається сіткове рішення). Вузли сітки розташовуються в області інтегрування із кроком Δ. Найчастіше крок сітки Δ постійний. У деяких випадках, відповідно до характеру зміни X або Y, величину кроку приймають різною: меншої при інтенсивній зміні X або Y, і більшої при малих змінах X або Y.

Р ішення шукається у вузлах сітки 2, 3, 4 ... і... n. У вузлі з індексом і=1 задається початкова умова.

1.1. Основи різницевих методів

У всіх схемах різницевих методів Ейлера застосовується однакова різницева апроксимація першої похідної:

. (1.4)

Інші члени рівнянь (1.1) або (1.4) можна представити в різницевих схемах, відносячи значення Y і X до початку, кінцю або середини відрізку (кроку) . Наприклад, до початку кроку . Тоді згідно рис.1.1 для рівняння (1.1) маємо

. (1.5)

З (1.5) одержуємо розрахункову формулу для визначення Yі:

, де . (1.6)

Чисельне моделювання динамічних об'єктів ускладнюється необхідністю досліджувати стійкість рішень.

1.2. Оцінка стійкості різницевих схем

Для оцінки стійкості різницевих схем можна використовувати різні прийоми. Найпростіший і надійніший спосіб оцінки абсолютної стійкості різницевої схеми – метод одиничного впливу. Суть методу можна проілюструвати на прикладі звичайного диференціального рівняння першого порядку (1.1) див. рис.1.2

У загальному випадку різницевий аналог рівняння (1.1) можна записати у вигляді:

. (1.7)

де D1 і D2 - коефіцієнти різницевої схеми.

У вузол i-1 додатково до рішення задається одиничне збурювання Δ1, а у вузлі i фіксується реакція Δ2. Тоді:

. (1.8)

Віднімаючи рівняння (1.4) з рівняння (1.5), одержимо вираз для відносного значення реакції:

ε= Δ2/ Δ1= D1. (1.9)

На n^ом кроці від вузла, де задане одиничне збурювання, (якщо значення А, K і τ залишаються незмінними) відносна реакція складає εⁿ= Δ2_n/Δ1. Для забезпечення абсолютної стійкості різницевої схеми необхідно, щоб при n   виконувалося εⁿ <1. А це можливо, якщо виконується умова

0 < ε < 1 , (1.10)

тобто має бути виконана умова 0 < D1 < 1

2. МЕТОДИКИ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

2.1. Явна різницева схема

, звідки , (2.1)

де .

Умова абсолютної стійкості: або .

2.2. Неявна різницева схема

, звідки , (2.2)

де .

Умова абсолютної стійкості: . Схема завжди стійка.

2.3. Схема трапецій

, звідки , (2.3)

де .

Умова абсолютної стійкості: або .

2.4. Схеми аналітико-сіткові

О дним зі способів побудови різницевих схем є використання точного аналітичного рішення на відрізку інтегрування рівного кроку сітки. У межах відрізку інтегрування використається нова координатна вісь t, як показана на рис. 2.2, та проводиться рішення рівняння (2.4):

. (2.4)

Залежно від способу подання впливу B можливі варіанти організації схем.

2.5. Схема аналітико-сіткова при постійному впливі

При В=const аналітичне рішення (2.4) має вигляд:

, ( 2.5)

де В - прийняте на відрізку інтегрування постійне значення впливу. Розумно прийняти . Тоді

, (2.6)

де .

Розглянута схема абсолютно стійка, оскільки завжди виконується умова

.

2.6. Схема аналітико-сіткова при лінійному впливі

При лінійній залежності B=a+bt аналітичне рішення (2.4) має вигляд

. (2.7)

Якщо на відрізку інтегрування прийнята лінійна зміна величини X від X_i-1 до X_i , у нашому випадку

,

різницева схема приймає вигляд

, (2.8)

де

Розглянута схема абсолютно стійка, оскільки завжди виконується умова:

.

2.7. Схема Рунге-Кутта четвертого порядку

(2.9)

Умова абсолютної стійкості: .

2.8. Проекційне рішення

Основна ідея методу полягає в тім, що на ділянках осі незалежної змінної τ, як рішення y, приймається функція певного типу, але з невідомими поки параметрами (коефіцієнтами). Вираження для функції і її похідних підставляються в розв'язуване рівняння. Записується вираження для функціонала S, що являє собою суму квадратів незв’язності для ряду значень незалежної змінної. Коефіцієнти апроксимуючої функції знаходять шляхом мінімізації функціонала S. Можна використовувати або методи безумовної оптимізації, або прямі методи (що буде розглянуто далі).

В області визначення функції Y виділяються відрізки z із кроком . Призначається послідовність відрізків інтегрування z, кожний з яких включає кілька вузлів j. У межах кожного відрізку інтегрування використається локальна незалежна змінна t.

Розглянемо проекційне рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку:

, (2.10)

де А, K - задані коефіцієнти рівняння, X – вплив, Y - реакція об'єкта.

Як функція, апроксимуюча рішення Y на кожному відрізку інтегрування, найчастіше приймається поліном kn^ой ступеня

. (2.11)

Відповідно вираження для похідної має вигляд

, (2.12)

де a₁a_kn – коефіцієнти полінома, що підлягають визначенню.

Значення коефіцієнта а₀ визначається із задоволення початковій умові або рішення, отриманого на попередньому відрізку інтегрування

. (2.13)

Підставляючи вираження для Y, Y у розв'язуване рівняння одержимо:

. (2.14)

Сума квадратів незв’язності по всіх вузлах розглянутого відрізку інтегрування має вигляд:

(2.15)

Значення функціонала S буде мінімальним при виконанні умов:

(2.16)

Задовольняючи кожній наведеній умові, можна записати систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

СЛАР має коефіцієнти матриці (МА) і елементи вектора правої частини (МВ), які обумовлені залежностями

(2.17)

де L - індекс рядка матриці (line), C - індекс стовпця (column).

У загальному випадку 1  L  kn, 1  C  kn.

Для диференціального рівняння першого порядку, рішення якого апроксимується поліномом, порядок матриці чисельно дорівнює порядку апроксимуючого полінома. Слід зазначити, що при постійних значеннях коефіцієнтів рівняння A, K і при фіксованих значеннях Δτ і m, коефіцієнти матриці MA_L,C однакові для всіх інтервалів інтегрування, а змінюються тільки значення MB_L.

Блок-схема алгоритму рішення рівняння (2.1) проекційним методом представлена на рис. 2.4. Текст програми Project_ODU1, яка реалізує проекційне рішення рівняння (2.1), представлений у Додатку.

Імена даних, які використовувані на блок-схемі рис. 2.4:

Kpol - порядок апроксимуючого полінома;

Jm - кількість кроків на відрізку апроксимації;

Nz - кількість кроків часу на основній осі незалежної змінної;

T - вектор значень незалежної змінної ( , час);

Tp - вектор значень додаткової незалежної змінної t, значення якої на початку відрізку апроксимації дорівнює 0, а в кінці відрізку дорівнює ;

X - вектор значень впливу;

A, K - задані коефіцієнти рівняння;

Y0 - початкова умова;

a₀ a_Kpol – коефіцієнти полінома, який апроксимує рішення;

Ck₀  Ck_Kpol – коефіцієнти полінома, який апроксимує вплив;

MA - матриця коефіцієнтів;

MB - вектор правої частини;

MATR - прямокутна матриця, що містить матрицю коефіцієнтів і вектор правої частини.

У програмі Project_ODU1 використані процедури:

Matrix - формування матриці коефіцієнтів;

Vector - формування вектор правої частини;

Gauss - рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь.