Міністерство освіти і науки україни одеський національний морський університет

КАФЕДРА "ТЕХНІЧНА КІБЕРНЕТИКА"

Тузова І.А., Челабчі В.В., Челабчі В.М.

“ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ”

(Чисельні методи рішення звичайних

диференціальних рівнянь)

Навчальний посібник

Навчальний посібник для студентів всіх спеціальностей, аспірантів

і слухачів факультету післядипломної освіти й підвищення кваліфікації

Одеса - 2011

Навчальний посібник “Чисельні методи рішення звичайних диференціальних рівнянь” для студентів всіх спеціальностей, аспірантів і слухачів факультету післядипломної освіти й підвищення кваліфікації ОНМУ підготовлено викладачами кафедри «Технічна кібернетика»:

проф. Челабчі В.М.,

ст. преп. Тузова І.А.,

ст. преп. Челабчі В.В.

Навчальний посібник розглянутий на засіданні кафедри «Технічна кібернетика» і рекомендоване до опублікування й використання в навчальному процесі ОНМУ.

Протокол № 11 від 23.02.2011 р.

ЗМІСТ

С.

ВВЕДЕННЯ 5

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ 6

1.1. Основи різницевих методів 7

1.2. Оцінка стійкості різницевих схем 8

2. МЕТОДИКИ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ 9

2.1. Явна різницева схема 9

2.2. Неявна різницева схема 9

2.3. Схема трапецій 9

2.4. Схеми аналітико-сіткові 9

2.5. Схема аналітико-сіткова при постійному впливі 10

2.6. Схема аналітико-сіткова при лінійному впливі 10

2.7. Схема Рунге-Кутта четвертого порядку 11

2.8. Проекційне рішення 11

2.9. Схеми рішення рівняння Y()=KX() 15

2.10. Оцінка ефективності чисельних методів 16

3. РІШЕННЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 18

3.1. Загальні положення 18

3.2. Організація рішення системи звичайних диференціальних рівнянь 20

4. РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ В СЕРЕДОВІЩІ EXCEL 25

4.1. Організація рішення звичайних диференціальних рівнянь першого порядку 25

4.2 Організація рішення систем звичайних диференціальних рівнянь 27

ЛІТЕРАТУРА 29

ДОДАТОК 31

program Project_ODU1 31

unit MyPr 33

unit MyType 36

Введення

У науці і техніці часто доводиться досліджувати динаміку об'єктів із зосередженими параметрами. Математична модель подібних об'єктів звичайно відображається звичайними диференціальними рівняннями і їх системами. Часто рівняння математичної моделі бувають нелінійними, коли коефіцієнти рівнянь є функціями параметрів процесу.

Для вирішення звичайних диференціальних рівнянь і їх систем (лінійних або нелінійних) можна використовувати різні методи:

• Аналітичне рішення;

• Чисельне рішення з використанням різницевих схем;

• Чисельне рішення з використанням проекційних методів заснованих на варіаційному підході.

Використовування точних аналітичних методів рішення нелінійних диференціальних рівнянь, як правило, неможливо або вимагає істотних обмежень при постановці задачі. Використовування аналітичного рішення з використанням рядів складне або веде до істотного зниження точності рішення.

Надійним способом одержати рішення з достатньо малою погрішністю це використовування чисельних методів. Проте ряд різницевих методів володіє нестійкістю (при певних значеннях коефіцієнтів рівнянь і кроку (інтервалу) інтегрування.

Приємними представляються проекційні методи. Основна ідея методу полягає у тому, що на ділянках осі незалежної змінної (інтервалах інтегрування) рішення приймається як функція певного типу, але з невідомими поки параметрами (коефіцієнтами). Вирази для функції і її похідних підставляються у вирішуване рівняння. Записується вираз для функціонала S, який є сумою квадратів незв’язності (різниць значень правої і лівої частин рівняння) для ряду значень незалежної змінної на інтервалі інтегрування.

Коефіцієнти апроксимуючої функції знаходяться шляхом мінімізації функціонала S. Для визначення коефіцієнтів функцій, апроксимуючих рішення, можна використовувати методи безумовної оптимізації. Але більш зручно використати прямі методи. У цьому випадку створюється система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) щодо шуканих коефіцієнтів функцій апроксимуючих рішення. Для рішення СЛАР переважно використовуються прямі методи: Гауса із провідним елементом, обігу матриць і ін..

Якщо математична модель об'єкту нелінійна, тобто коефіцієнти рівнянь математичної моделі є функціями рішення, використовується ітераційне уточнення значень коефіцієнтів математичної моделі на кожному інтервалі інтегрування. О

i – індекс інтервалу інтегрування (індекс моменту часу відповідного кінцю інтервалу інтегрування.

блік нелінійних залежностей коефіцієнтів рівнянь від параметрів процесу проводиться різним способом залежно від методу рішення систем рівнянь: різницевого або проекційного.