Рішення

Розробимо економіко-математичну модель задачі.

Змінні:

Х₁ – площа пшениці;

Х₂ – площа ячменю;

Х₃ – площа проса;

Х₄ – площа картоплі.

Цільова функція (максимальний прибуток) буде мати вигляд:

F=160X₁+120X₂+100X₃+260X₄  max

На змінні задачі накладені обмеження:

1-ше обмеження характеризує використання площі ріллі

Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ <= 80

2-ге обмеження стосується угоди на продаж проса ( 200 ц):

20 Х ₃ >= 200

3-тє обмеження описує використання добрив

3,5Х₁ + 3Х₂ + 3Х₃ + 5Х₄ <= 250

4-те обмеження описує умову, що площа картоплі повинна бути 20 га:

Х₄ = 20

Запишемо задачу в канонічному вигляді (в кожну нерівність системи обмежень вводяться додаткові змінні, в цільову функцію додаткові змінні вводяться з коефіцієнтом 0).

Цільова функція має вигляд:

F=160X₁+120X₂+100X₃+260X₄+0S₅+0S₆+0S₇ max

Обмеження задачі запишемо у векторному вигляді:

; ; ; ; ; ; ;

Серед всіх векторів лише два одиничних (А₅ та А₇). В друге та четверте обмеження необхідно ввести штучні змінні. Запишемо обмеження задачі та цільову функцію з штучними змінними:

F=160X₁+120X₂+100X₃+260X₄+0S₅+0S₆+0S₇-MY₁-MY₂  max

X – основні змінні, S – додаткові змінні, Y – штучні змінні

Рішення задач симплексним методом здійснюється в таблицях, заповнимо першу таблицю.

Ітерація 1

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	S1	S2	Y1	S3	Y2	B(i)
		160	120	100	260	0	0	-M	0	-M
S1	0	1	1	1	1	1	0	0	0	0	80	80
Y1	-M	0	0	20	0	0	-1	1	0	0	200	10
S3	0	3,5	3	3	5	0	0	0	1	0	250	83,33
Y2	-M	0	0	0	1	0	0	0	0	1	20	Inf
*Big M		-160 0	-120 0	-100 -20	-260 -1	0 0	0 1	0 0	0 0	0 0	0 -220

Поточне значення цільової функції (Max) = 0+(-220 Big M)

(в базис вводимо змінну Х₃; виводимо змінну Y₁),

Inf – дія не виконується, тому що ділити на 0 неможливо

Система обмежень задачі записується в табличному виді (Ітерація 1): в “Базис” записуються змінні, які утворили систему одиничничних векторів (для першої таблиці), в стовпчик С(j) – коефіцієнти в цільовій функції при змінних, які ввійшли в Базис, в стовпчики Х1, Х2, Х3, Х4, S1, S2, Y1, Y2 – відповідні коефіцієнти при цих змінних в кожному обмеженні; стовпчик B(i) – праві частини рівнянь.

Індексний рядок розраховується за правилом – кожне значення стовпчика С(j) множиться на відповідний елемент розрахункового стовпчика, що отримано в результаті множення додається і з цієї суми віднімається коефіцієнт при змінній в цільовій функції, що отримано: число без М записується в рядок , число з М записується в рядок *Big M.

Наприклад:

розрахуємо індексний рядок для стовпця Х1:

розрахуємо індексний рядок для стовпця Х3:

Задача має оптимальне рішення, коли в індексному рядку не існує від’ємних елементів при рішенні задач на max.

Якщо умова оптимальності не виконується, необхідно визначити генеральний (направляючий) елемент, який лежить на перетині генерального стовпця та генерального рядка, та перейти до нової таблиці. Визначається направляючий стовпець, на який вказує найбільше по абсолютній величині від’ємне значення в індексному рядку. Потім визначається направляючий рядок: необхідно поділити кожне значення стовпця B(i) на відповідне значення генерального стовпця і найменше значення, яке буде отримано, вказуватиме на направляючий рядок. При визначенні генерального рядка неможливо ділити на нуль та від’ємний елемент.

Отже: Х3 – генеральний стовпець;

Рядок 2 – генеральний рядок;

20 – генеральний елемент.

Правила переходу до нової таблиці:

1. Замість генерального елемента записується 1, замість всіх інших елементів генерального стовпця 0;

2. Всі елементи генерального рядка діляться на генеральний елемент;

3. Всі інші елементи таблиці розраховуються за правилом прямокутника:

Якщо з базису виходить деяка штучна змінна, то з цього моменту відповідний стовпець не розраховується.

Розрахуємо другу таблицю (ітерація 2)

Розглянемо як за правилом прямокутника визначається декілька значень:

1) 2)

3) 4)