Клеточные матрицы

Рассмотрим некоторую матрицу А и разобьем ее на матрицы более низкого порядка:

которые  называются клетками или блоками.

Здесь клетками (блоками) являются матрицы:

Теперь матрицу А можно рассматривать как клеточную или блочную:

элементами которой являются клетки (блоки).

Очевидно, что разбиение произвольной матрицы на клетки (блоки) может быть выполнено различными способами. В частном случае клеточная матрица может оказаться квазидиагональной:

где клетки  – квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков), а вне клеток стоят нули.

Отметим, что 

Клеточные матрицы одной и той же размерности и с одинаковым разбиением называются конформными.

Действия над клеточными матрицами осуществляются по тем же правилам, что и над обычными матрицами.

1. Сложение и вычитание клеточных матриц

Пусть имеются две конформные клеточные матрицы:

где p = r, q = s и клетки  одинаковой размерности. Тогда

Аналогично выполняется вычитание клеточных матриц.

2. Умножение клеточных матриц

Умножение клеточной матрицы на число (скаляр)

Пусть А – клеточная матрица и  h – число, тогда имеем:

Умножение клеточных матриц

Рассмотрим две конформные клеточные матрицы:

причем   q = r .

Пусть все клетки   такие, что число столбцов клетки   равно числу строк клетки   (Например, очевидно, что это имеет место в частном случае, когда все клетки  – квадратные  матрицы и имеют одинаковый порядок). Тогда легко показать, что произведение матриц А и В – тоже клеточная матрица:

где  то есть умножение клеточных матриц аналогично умножению числовых [2].

П р и м е р . Перемножить клеточные матрицы

Р е ш е н и е .

Треугольные матрицы

Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Например, матрица

где   является верхней треугольной матрицей, а матрица

где  является нижней треугольной матрицей. Диагональная матрица является частным случаем треугольной матрицы (как верхней, так и нижней). Очевидно, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то есть в наших примерах:

Поэтому треугольная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля.

Сумма и произведение треугольных матриц одной и той же размерности и одинаковой структуры (то есть, обе – верхние, или обе – нижние) являются также треугольными матрицами той же размерности и структуры.

Обратная матрица невырожденной треугольной матрицы – также треугольная матрица той же размерности и структуры. Исходя из этого, обращение треугольной матрицы не вызывает никаких затруднений.

Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений [1].

К элементарным преобразованиям относятся:

1)  перестановка двух строк (столбцов);

2)  умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;

3)  сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг. 

Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:

где   ≠ 0.

Тогда можно вынести множитель :

теперь, вычитая из элементов j-го столбца соответствующие элементы первого столбца, умноженные на , получим определитель:

который равен:  где

Затем повторяем те же действия для   и, если все элементы  то тогда окончательно получим:

Если для какого-нибудь промежуточного определителя  окажется, что его левый верхний элемент  , то необходимо переставить строки или столбцы в так, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент  является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что ). Тогда знак соответствующего определителя равен .

П р и м е р . С помощью элементарных преобразований привести матрицу

к треугольному виду.

Р е ш е н и е . Сначала умножим первую строку матрицы на 4, а вторую на (–1) и прибавим первую строку ко второй:

Теперь умножим первую строку на 6, а третью на (–1) и прибавим первую строку к третьей:

Наконец, умножим 2-ю строку на 2, а 3-ю на (–9) и прибавим вторую строку к третьей:

В результате получена верхняя треугольная матрица 

Пример. Решить систему линейных уравнений, используя матричный аппарат:

Р е ш е н и е. Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:

где

Решение данной системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:

где   – матрица, обратная к матрице А.

Определитель матрицы коэффициентов А равен:

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу  .

Сначала найдем присоединенную матрицу  Ã, которая в данном примере имеет вид:

где  – алгебраические дополнения соответствующих элементов  матрицы  А.

В нашем случае получим:

Таким образом,

Тогда обратная матрица   равна:

Теперь найдем решение заданной системы уравнений. Так как,  то

Таким образом, решение данной системы уравнений: