2. Найти производную второго порядка

3. Найти значение у ”(x) в точке х₀

, x₀ =

4. Вычислить полный дифференциал первого порядка

1. Для функции:

Вычислить: а) ; б) ; в)

6. Материальная точка движется по закону s(t)= (м). Найти скорость и ускорение точки в момент времени t= с.

7. Найти момент времени, в который скорость точки будет равна м/с.

8. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции

у= в точке х₀ = .

Выполнить чертёж.

3.2. Допуск к работе

1. В чём заключается механический смысл производной?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Как вывести на экран панель математических инструментов (Math Palette)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Как можно вычислить производную функции, используя математическую панель в MathCAD?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Как можно вычислить производную функции, используя горизонтальное меню?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Что нужно сделать для вычисления производной функции в заданной точке?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Как находятся производные высших порядков для заданной функции?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Что необходимо сделать, чтобы решить уравнение с помощью пакета MathCAD?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Как вычислить смешанную частную производную с помощью пакета MathCAD?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Каким образом строится график с помощью пакета MathCAD?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Как построить два графика в одной системе координат с помощью пакета

MathCAD?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

4.1.

4.2

4.3

4.4

4.5

А)

Б)

В)

4.6

v = _____________________ a = _______________________

5. t = ________________________

f(x₀) =

f ‘ (x) =

f ‘ (x₀) =

Уравнение касательной y = f(x₀) + f ‘ (x₀) (x - x₀)

_________________________________________________________________

Уравнение нормали y = f(x₀) - (x - x₀)

_________________________________________________________________

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 11

Нахождение неопределённых, определённых и несобственных интегралов.

1. Цель работы

1. 1 Научиться вычислять определённые и неопределённые интегралы методом подстановки

2. Ход работы

2.1. Вариант

Найти неопределённые интегралы :

2.1.1.	2.1.4.
2.1.2	2.1.5
2.1.3	2.1.6

Найти определённые интегралы:

2.1.7	2.1.9
2.1.8	2.1.10

Найти несобственные интегралы:

2.1.11	2.1.13
2.1.12	2.1.14

2.2. Допуск к работе

2.2.1 Заполните таблицу интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

2. Заполните таблицу:

t	dt	dx
t = 2x + 8	dt = (2x+8)’ dx dt = 2 dx
t = 5x - 4
t = - 3 x + 6
t = x+8	dt = ( x+8)’ dx dt = dx
t = x - 5
t = x + 7

2.2.3. Выпишите формулу Ньютона - Лейбница

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.4 Заполните таблицу:

интеграл	t	Старые пределы		Новые пределы
		нижний a	верхний b	нижний tн	верхний tв
	5 x + 4	a = 2	b = 4	tн = 5·2 + 4 = 14	tв = 5·4+ 4 = 24

5. По какой формуле вычисляется интеграл ?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. По какой формуле вычисляется интеграл ?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. По какой формуле вычисляется интеграл , если - особая точка?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. По какой формуле вычисляется интеграл , если - особая точка?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12

Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла в Mathcad

1. Цель работы

1. Научиться применять определённый интеграл для решения геометрических

задач.

2. Научиться применять определённый интеграл для решения физических

задач.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1 Вариант

1. Скорость движения тела задаётся формулой . Найти путь пройденный телом за сек.

2. Вычислить силу давления на прямоугольную пластину с основанием

см и высотой см, погружённую вертикально в жидкость плотностью так, что верхнее основание находиться на см ниже поверхности жидкости.

3. Силой Н пружина растягивается на см. Первоначальная длина пружины равна см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину до см?

4. Найти объём тела, полученного при вращении кривой вокруг оси Ох, если

5. Найти площадь поверхности, полученной при вращении кривой вокруг оси Ох, если

6. Найти длину кривой между точками

7. Пластина в виде треугольника с основанием см и высотой см погружена в жидкость, плотности . Найти силу давления на пластину, если её вершина лежит на поверхности, а основание параллельно поверхности жидкости.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, если

3.2 Допуск к работе

1. В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками двух функций?

_______________________________________________________________________

3. Как вычислить длину дуги плоской кривой?

_______________________________________________________________________

4. Какую поверхность называют поверхностью вращения?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Как находится объём фигуры, полученной при вращении вокруг оси кривой ?

_______________________________________________________________________

6. Как находится площадь поверхности фигуры, полученной при вращении вокруг оси кривой ?

_______________________________________________________________________

7. В чём заключается физический смысл определённого интеграла?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как вычислить путь, пройденный телом при равномерном движении?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как вычислить путь, пройденный телом при неравномерном движении?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как вычислить работу переменной силы?

______________ __________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как вычислить силу давления жидкости на вертикально расположенную пластину?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.12 Как строится в MathCAD график функции?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.13 Как форматируется в MathCAD график функции?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.14 Как в MathCAD вычисляются производные?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.15 Как в MathCAD вычисляются определённые интегралы?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

4. Результаты работы

1. 

Основание (ширина пластинки f(x)) а= см = м высота b= см = м глубина погружения c= см = м Нижний предел (с) - Верхний предел (с+b) -

Р=

Cилой F= Н пружина растягивается на ∆x см = м

Коэффициент жёсткости пружины

Пружина растягивается на b = см = м

k : =

k =

A=

4.4 – 4.5

V=	S=

4.6

L =

4.7

Основание AC = см = м Высота BD = см = м

Р=

4.8

S=

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

1. Цель работы

1.1 Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

1.2 Научиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.3 Научиться применять дифференциальные уравнения к решению физических задач

2. Ход работы

2.1 Вариант

Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) _____________________________________________

2) ______________________________________________

Найдите частное решение дифференциального уравнения:

3) ______________________________________________

______________________________________________

4) _______________________________________________________________________________

Найдите закон движения точки:

5) _______________________________________________________________________________

6)________________________________________________________________________________

2. Допуск к работе

2.2.1 Решите уравнение

2.2.2 Вычислите

2.2.3 Продолжите равенства: a) ln 5 + ln 4 = ln 5∙4 = ln _____

б) ln(x+3) + lnC = _____________________

в) ln 12 = b ↔ 12 = e ^b

г) ln z = 5x + 8 ↔ z =

д)

е)

2.2.4 Заполните таблицу:

Дифференциаль- ное уравнение
Характеристичес- кое уравнение
Дискриминант
Корни характеристичес-кого уравнения
Общее решение дифференциаль- ного уравнения

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16

Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач

1. Цель работы

1.1 Научиться применять дифференциальные уравнения для решения прикладных задач

2. Ход работы

2.1 Вариант

1) Для некоторой компьютерной фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид  MR = . Здесь MR – маржинальная выручка фирмы, а  q  – объем продукции. Маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж. Найти функцию общей выручки. Используя полученную функцию определить:

а) общую выручку, если объём продукции q = штук.

б) объём продукции, который принесёт выручку тысяч рублей.

2) Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна тыс.руб, стоимость его через год составила тыс. руб. Запишите формулу для вычисления стоимости оборудования. Используя полученную формулу определить:

а) какова будет стоимость оборудования через года;

б) через сколько лет стоимость оборудования составит тыс. рублей.

3) Сумма тыс. руб. положена в сберегательную кассу на % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение начисляется непрерывно и скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада. Используя полученный закон определить:

а) величину вклада через года;

б) через сколько лет величина вклада составит тыс. рублей.

4) Цена на планшеты некоторой фирмы составляет 13 тыс. рублей. Спрос s и предложение q определены соотношениями: q = p’ + p + , s = 2p’+ p + , где p’ – тенденция формирования цены (производная цены по времени). Определите формулу, по которой должна изменятся цена, чтобы спрос соответствовал предложению. Используя полученную формулу определить:

а) цену планшета через месяца;

б) через сколько месяцев цена планшета будет тыс. рублей.

5) В магазине компьютерной техники начали продажу новой модели смартфона, ежедневно продавали по смартфона. Анализ рынка показал, что можно продавать по

смартфонов в день. Через 1 месяц после начала рекламной компании стали продавать по смартфонов в день. Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом) и её текущим значением, записать закон изменения количества ежедневно продаваемых смартфонов от времени, прошедшего с начала рекламной компании. Используя полученный закон определить:

а) объём продаж через месяца после начала рекламной компании

б) через сколько месяцев после начала рекламной компании объём продаж составит

смартфонов.

2. Допуск к работе

1. Известно, что S = C∙e ^kt и при t = 0 S = 14. Найдите С

__________________________________________________________________________________

2. Известно, что S = 14∙e ^kt и при t = 1 S = 28. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

3. Известно, что сумма в 300 тыс. рублей положена под 7% годовых. Найдите сумму вклада через год

__________________________________________________________________________________

4. Известно, что -ln(6-p) = t + C выразите р

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

5. Известно, что Р = 7 + 14∙e ^kt и при t = 1 Р = 49. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

6. Известно, что р = 40 - C∙e ^-kt и при t = 0 р = 50. Найдите С

__________________________________________________________________________________

7. Известно, что р = 40 - 3∙e ^-kt и при t = 1 р = 70. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

8. Из условия : «Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости.» , получим:

__________S’ = S _______________________________

2.2.9 Из условия : «Скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада» , получим :

__________ ’ = k _________________________

2.2.10 Из условия: «Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом равным 200 ) и её текущим значением» , получим

__________ p’ = ( -p) ∙ k ________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 17

Решение дифференциальных уравнений в Mathcad

1. Цель работы

Научиться находить с помощью пакета MathCAD общие и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка, используя правила решения дифференциальных уравнений и встроенные функции пакета MathCAD.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1 Вариант

1. Найти общее решение данного дифференциального уравнения

2. Найти общее решение данного дифференциального уравнения

3. Найти общее решение дифференциального уравнения и выполнить проверку

4. Известно, что тело движется с ускорением a(t) = _______________________________,

найти закон изменения скорости и закон движения тела, если

при t = 0, S = _________ , v = ______________

5. Решите дифференциальное уравнение, используя блок given, odesolve

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

6. Решите дифференциальное уравнение, используя команду rkfixed

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

7. Решите дифференциальное уравнение, используя блок given, odesolve

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

Постройте в одной системе координат график приближённого и точного аналитического решения у =

3.2. Допуск к работе

1. Разделите переменные

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Комбинацией каких клавиш вызывается в документе MathCAD команда символьных операций (→) ?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Пусть y’ = z , тогда y ” = ?

4. Известно, что S(t) = 15t² + 4t + C и при t = 2, S = 10. Найти С

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Продолжите равенства a(t) = v ‘ (t) =

v (t) = S ‘ (t) =

6. Известно, что отрезок [2;3] разбили на 10 частей продолжите ряд

2; _______________________________________________________________

7. Известно, что отрезок [4;7] разбили на 6 частей продолжите ряд

2; _______________________________________________________________

8. Комбинацией каких клавиш MathCAD вызывается знак «жирного» равенства?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Как на панели матриц выглядит клавиша для вывода на экран двоеточия в MathCAD (2 .. 3)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. С помощью какой закладки мастера форматирования графиков можно

изменить внешний вид линии графика ( например сделать его точечным)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

4. Результаты работы

1.

2.

dy(x,C1) =

y(x,C1,C2) =

3. Характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: k₁ = k₂ =

Общее решение уравнения:

Поверка правильности решения: (запись с экрана)

4.

v(t,C1) =

C1 =

S(t,C1,C2) =

C2 =

S(t,C1,C2) =

5.

given

___________________ = ________________

y( ) = ____

y := odesolve (x,___ , _____)

x:= ____ , ______ .. ____

x = y(x)=

6.

y:=

F(x,y):=

y1:=rkfixced(y,___ , ____ , ____, F

y1=

7.

given

___________________ = ________________

y( ) = ____

y := odesolve (x,___ , _____)

x:= ____ , ______ .. ____

x = y(x)=

h(x): =

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 18

Числовые и степенные ряды.

1. Цель работы

1.1.Научиться вычислять члены числового ряда и исследовать числовые ряды на сходимость

1. Научиться раскладывать функции в ряды Тейлора и Маклорена

2. Ход работы: