Бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Вологодской области

«Череповецкий металлургический колледж имени академика И.П. Бардина»

Специальность 230115 «Программирование в компьютерных системах»

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Отчеты

ПР. 230115. 00. 00

Проверил: Масыгина И.А.

преподаватель колледжа

Подпись_____________

Выполнил: ___________

студент группы 2-ПКС

Подпись_____________

2014-2015 уч.год

Содержание

Практическая работа № 1:Действия над матрицами. Определители. Метод Крамера ……….
Практическая работа № 2: Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса ………………………………………………….
Практическая работа № 3: Выполнение действий над матрицами и решение систем линейных уравнений с помощью Mathcad…….............................................................................
Практическая работа № 4:Решение задач аналитической геометрии с помощью Mathcad ….
Практическая работа № 5: Уравнение прямой на плоскости …………………………………..
Практическая работа № 6: Составление уравнений кривых второго порядка………...............
Практическая работа № 7: Расчёт параметров кривых второго порядка с помощью Mathcad
Практическая работа № 8: Применение производной …………………………………………..
Практическая работа № 9: Частные производные ………………………………………………
Практическая работа № 10: Решение задач дифференциального исчисления с помощью Mathcad ……………………………………………………………………………………………..
Практическая работа № 11: Нахождение неопределённых, определённых и несобственных интегралов…………………………………………………………………………………………..
Практическая работа № 12:Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла в Mathcad ………………………………………………………………………………
Практическая работа № 13:Вычисление двойных интегралов …………………………………
Практическая работа № 14: Решение дифференциальных уравнений первого порядка….......
Практическая работа № 15: Решение дифференциальных уравнений второго порядка………
Практическая работа № 16: Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач …………………………………………………………………………………
Практическая работа № 17: Решение дифференциальных уравнений в Mathcad…………….
Практическая работа № 18: Числовые и степенные ряды………………………………………
Практическая работа № 19: Разложение функций в ряды и исследование рядов на сходимость с помощью Mathcad …………………………………………………………………
Практическая работа № 20: Приближённые вычисления с помощью рядов с использованием Mathcad и Excel ……………………………………………………………………………………
Практическая работа № 21: Комплексные числа ……………………………………………….
Практическая работа № 22: Выполнение действий над комплексными числами с помощью Mathcad……………………………………………………………………………………………..

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

Действия над матрицами. Определители. Метод Крамера.

1. Цель работы

1. Научиться выполнять сложение матриц, умножение матриц на число,

умножение матриц и вычислять определители.

1.2 Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

2. Ход работы

1. Вариант

Даны матицы , ,

Найти:

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

2.1.5.

2.1.6

2. Допуск к работе

1. Для данной матрицы

А) Выпишите элементы главной диагонали: ___________________________________

Б) Выпишите элемент третьей строки второго столбца: __________________________

2. Вычислите:

А) =

Б)

В)

3. Сформулируйте кратко правило нахождения произведения матриц.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Вычислите произведение матриц

= =

5. Как вычислить определитель второго порядка?

6. Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?

7. Для данной матрицы

А) Вычислите: М₁₃ = ________________

Б) Вычислите: А₁₃ = _________________

В) Вычислите: А₂₃ = _________________

8. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Запишите формулы Крамера для решения систем линейных уравнений?

К работе допускается ______________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса

1. Цель работы

1. Научиться находить матрицу, обратную данной и решать системы линейных

уравнений в матричной форме и методом Гаусса.

2. Ход работы

1. Вариант

1. Вычислить обратные матрицы для данных:

2.1.1.1. ;

2.1.1.2. .

2. Решить матричным способом систему уравнений:

2.1.2.1.

2.1.2.2.

3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

2.1.3.1.

2.1.3.2.

2. Допуск к работе

1. Запишите единичную матрицу третьего порядка.

2. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Транспонируйте матрицу?

А= А^Т =

4. Заполните пропуски:

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1. Находят ____________________ матрицы А. т. е. .

2. Находят __________________________________А _ij всех элементов а_ij матрицы А.

3. Из вычисленных алгебраических дополнений составляем матрицу .

4. Транспонируем полученную матрицу: .

5. Вычисляем обратную матрицу А^-1, _____________ каждый элемент последней из полученных матриц на .

5. Для данной системы линейных уравнений составьте матрицы: А, В, Х

, , .

6. В каком случае обратная матрица не существует?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.7 Решите систему

К работе допускается ______________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3

Выполнение действий над матрицами и решение систем линейных уравнений с помощью пакета MathCAD.

1. Цель работы

1. Научиться выполнять действия над матрицами и решать системы линейных уравнений с помощью пакета MathCAD.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1. Вариант

Даны матрицы: ; ; .

Найти:

3.1.1.

3.1.2.

3.1.3.

Дана матрица: .

Найти:

3.1.4.

3.1.5.

3.1.6.

7. Решите матричное уравнение , если , .

8. Решите данную систему уравнений:

2. Допуск к работе

1. Как вывести на экран панель математических инструментов (Math Palette)?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Какая кнопка открывает панель простейших вычислений?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Какая кнопка открывает панель векторных и матричных операций?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Комбинацией каких клавиш задаётся знак присваивания?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Как задаётся число строк и столбцов вводимой матрицы?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Как вводятся элементы матрицы?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. За какой кнопкой на панели векторных и матричных операций закреплена функция вычисления определителя матрицы?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. За какой кнопкой на панели векторных и матричных операций закреплена функция транспонирования матрицы?

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

9. За какой кнопкой на панели векторных и матричных операций закреплена функция, позволяющая вычислить обратную матрицу?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. На какой панели находится кнопка с функцией, позволяющей возвести матрицу в квадрат?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ____________

4. Результаты работы

4.8.

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4

Решение задач аналитической геометрии с помощью Mathcad

1. Цель работы

1. Научиться выполнять действия с векторами в Mathcad.

2. Научиться решать задачи аналитической геометрии в Mathcad.

2. Ход работы

1. Вариант

Даны точки А( ; ; ), В( ; ; ), С( ; ; ), Д( ; ; ) найти

2. Координаты вектора ;

3. Координаты вектора ;

4. Координаты вектора ;

5. Длину вектора

6. Длину вектора

7. Скалярное произведение векторов

8. Векторное произведение векторов

9. Смешанное произведение векторов

10. Косинус угла между векторами

11. Проекцию вектора

Даны точки А( ; ; ), В( ; ; ), С( ; ; ) найти

2. Периметр треугольника АВС;

3. Площадь треугольника АВС;

4. Длину средней линии ║ ;

5. Длину высоты;

6. Длину медианы.

2. Допуск к работе

.

1. Сформулируйте правило вычисления координат вектора, если известны координаты его начала и конца .

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Пусть известны координаты точек А(х_а; у_а; z_a ) и В(х_b; у_b; z_b ). Запишите формулы для вычисления:

А) Координат вектора _______________________________________

Б) Расстояния АВ ______________________________________________

В) Координаты точки С – середины отрезка АВ

, ,

3. Пусть известны координаты векторов (а_х; а_у; а_z ) и (b_x; b_y; b_z ),

(с_x; с_y; с_z ). Запишите формулы для вычисления:

A) Координат вектора ___________________________________

Б) Координат вектора ___________________________________

В) Скалярного произведения векторов и _______________________

Г) Векторного произведения векторов и _______________________

Д) Векторного произведения векторов , и __________________

Д) Проекции вектора на вектор ________________________________

4. Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника

_____________________________________________________________

5. Выразите высоту треугольник из формулы площади

_____________________________________________________________

6. Сформулируйте свойство средней линии треугольника.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Дайте определение медианы треугольника.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Уравнение прямой на плоскости

1. Цель работы

1. Научиться оставлять уравнения прямых на плоскости

2. Научиться применять MathCAD для составления уравнения прямых на плоскости

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3. 1. Вариант

Дан треугольник АВС: А( ; ), В( ; ), С( ; )

Найти

1. Уравнения сторон АВ, АС, ВС

2. Уравнения медиан AD, CM, BK

3. Уравнения средних линий

DM параллельной AC

MK параллельной BC

KD параллельной AB

4. Уравнения высот AN, BH, CE

2. Допуск к работе

1. Запишите общее уравнение прямой __________________________________

2. Выберите верные подписи к рисункам (нормальны вектор, направляющий вектор)

________________________вектор_____ ________________________вектор____

3. Прямая задана уравнением 5х - 4у + 6 = 0

А) Запишите координаты нормального вектора ____________

Б) Запишите координаты направляющего вектора __________

4. Продолжите предложения:

А) Направляющим вектором прямой АВ является вектор __________

Б) Нормальным вектором прямой СД является вектор __________

В) Если МК – средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АВ, то направляющим вектором прямой МК является вектор _______________________

Г) Если АК – медиана треугольника АВС, К – середина стороны ___________

5. Известно общее уравнение прямой Ах + Ву +23 = 0

А) Направляющим вектором её является вектор запишите уравнение прямой

__________________________________________________________________________

Б) Нормальным вектором её является вектор запишите уравнение прямой

____________________________________________________________________________

6. Известно, что прямая 5х + 4у + С = 0 проходит через точку Д(-3; 2) найдите С

_______________________________________________________________________

7. Пусть известны координаты точек А(х_а; у_а ) и В(х_b; у_b). Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки

8. Пусть известны координаты точек А(3; -8 ) и В(4; 5). Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки

_________________________________________________________________

К работе допускается ______________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6

Составление уравнения кривых второго порядка.

1. Цель работы

2. Научиться составлять уравнения кривых второго порядка

2. Ход работы

2.1. Вариант

1. Составить уравнение окружности, ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________ . Сделать чертёж.

2. Составить уравнение окружности, ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________ Сделать чертёж.

3. Составить уравнение эллипса ________________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________ Сделать чертёж.

4. Составить уравнение эллипса ________________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________. Сделать чертёж.

5. Составить уравнение гиперболы ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________. Сделать чертёж.

6. Составить уравнение гиперболы______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________.

Сделать чертёж.

7. Составить уравнение эллипса, ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________..Сделать чертёж.

8. Составить уравнение параболы ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________. Сделать чертёж.

9. Составить уравнение параболы, ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________. Сделать чертёж.

10. Составить уравнение параболы, ______________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________. Сделать чертёж.

2. Допуск к работе

2.2.1 Запишите уравнение эллипса, если его полуоси а = 12, b = 5

__________________________________________________________________________

2.2.2 Запишите уравнение гиперболы , если его полуоси а = 12, b = 5

__________________________________________________________________________

2.2.3 Запишите на какой оси находятся фокусы эллипса, заданного уравнением:

А) __на оси ______________

Б) __на оси ______________

В) __на оси ______________

Г) __на оси ______________

2.2.4 По данному уравнению параболы укажите координаты вершины и параметр

А) (х - 12) ² = 12(у + 3) _____ вершина О( ___________) , параметр р= _______

Б) (у - 12) ² = -16(х + 3) _____ вершина О( ___________) , параметр р= _______

2.2.5 Запишите формулы для вычисления с

	фокусы на оси ОХ	фокусы на оси ОХ
эллипс
гипербола

2.2.6 Запишите формулы для вычисления

	фокусы на оси ОХ	фокусы на оси ОХ
эллипс
гипербола

2.2.7 Запишите уравнение окружности с центром в точке O (-3;2) и радиусом r = 9

__________________________________________________________________________

2.2.8 Укажите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:

(х - 8)² + (у + 5)² = 64 центр О( ___________) , радиус r = _______

К работе допускается ______________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7

Расчёт параметров кривых второго порядка с помощью MathCAD.

1. Цель работы

1. Научиться находить с помощью пакета MathCAD параметры кривых второго порядка

2. Научиться строить с помощью пакета MathCAD кривые второго порядка

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1. Вариант

3.1.1 Эллипс задан уравнением

А)

Б)

Найти a, b, c, ε, координаты точек F₁, F₂, A₁, A₂, B₁,B₂. Выполнить чертёж.

3.1.2 Гипербола задана уравнением

А)

Б)

Найти a, b, c, ε, координаты точек F₁, F₂, координаты вершин, уравнение асимптот. Выполнить чертёж.

3.1.3 Найти вершину, фокус, параметр и уравнение директрисы параболы Выполнить чертёж.

А)

Б)

2. Допуск к работе

3.2.1 Заполните пропуски:

Соотношение между а и b	a □ b	a □ b
Расположение эллипса относительно осей координат	Эллипс вытянут вдоль оси О □	Эллипс вытянут вдоль оси О □
Рисунок	эллипс вписан в прямоугольник со сторонами 2а и 2 b	эллипс вписан в прямоугольник со сторонами 2а и 2 b
Положение фокусов	F1, F2  O □	F1, F2  O □
Координаты фокусов	F1( □;□), F2( □; □ )	F1( □;□), F2( □; □ )
Фокусное расстояние	| F1F2 | = 2с	| F1F2 | = 2с
Большая ось	| А1А2 |=2□	| В1В2 |=□ b
Малая ось	| В1В2 |=□b	| А1А2 |=2 □
Эксцентриситет
Соотношение между а, b и с	□2= a2 □ b2	c2 = b2 □ □2
Уравнение

3.2.2 Заполните пропуски

Положение фокусов	F1, F2  O□	F1, F2  O□
Расположение гиперболы относительно осей координат	Вершины находятся на оси ОХ. Ветви гиперболы расположены слева и справа от прямоугольника со сторонами 2а и 2 b и постепенно приближаются к продолжением его диагоналей (асимптотам гиперболы)	Вершины находятся на оси ОУ. Ветви гиперболы расположены слева и справа от прямоугольника со сторонами 2а и 2 b и постепенно приближаются к продолжением его диагоналей (асимптотам гиперболы)
Рисунок
Координаты вершин	А1( □;□), А2( □; □ )	В1( □;□), В2( □; □ )
Координаты фокусов	F1( □;□), F2( □; □ )	F1( □;□), F2( □; □ )
Фокусное расстояние	| F1F2 |=2 □	| F1F2 |=2 □
Действительная ось	| □ □ | = 2 □	| В1В2 |=2□
Мнимая ось	| В1В2 |= □ b	| А1□ | = □а
Эксцентриситет
Соотношение между а, b и с	c2 = a2 □ b2	c2 = □2 + a2
Уравнение асимптот
Уравнение

3.2.3 Заполните пропуски:

Направление ветвей	Рисунок		Уравнение
Ветви направлены __________________			(x - □)2 = 2p( y - b)
Ветви направлены вниз		(x-a)2 = □ 2p(y-b)
Ветви направлены _________________		(y-b)2 = 2p(x-□)
Ветви направлены влево		(y-b)2 = -2□ (x-a)

К работе допускается ______________

4. Результаты работы

4.1

А)

a	b	c	ε	F1	F2	A1	A2	B1	B2

Б)

a	b	c	ε	F1	F2	A1	A2	B1	B2

4.2

А)

a	b	c	ε	F1	F2	1	2	асимптоты

Б)

a	b	c	ε	F1	F2	1	2	асимптоты

4.3

А)

вершина	фокус	параметр	директриса

Б)

вершина	фокус	параметр	директриса

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8

Применение производной.

1. Цель работы

1. Научиться применять производную для решения физических и геометрических задач .

2. Ход работы

1. Вариант

1. Тело массой кг движется по закону (S в метрах, t в секундах). Найти силу, действующую на тело и его кинетическую энергию через с от начала движения.

2. Найти приближенное значение функции при х = .

3. Вычислить приближенное значение:

а) б) в)

4. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением x = A(1 + e ^{- kt}) , где А – начальное количество вещества. Определите скорость химической реакции в зависимости от наличия действующего вещества, если

А = , k = , t =

х	-1,5	-1,4	-1,3	-1,2	-1,1	-1	-0,9	-0,8
ех	0,223	0,247	0,273	0,301	0,333	0,368	0,407	0,449

х	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1
ех	0,497	0,549	0,607	0,67	0,741	0,819	0,905

5. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в ее точке с абсциссой х₀ = .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = на отрезке

7. Исследовать функцию и построить её график

2.2. Допуск к работе

2.2.1 Заполните таблицу производных:

2.2.2 Заполните пропуски

А) Если производная дифференцируемой функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке _____________________.

Б) Если производная дифференцированной функции _________________ на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

2.2.3 Дорисуйте схемы

А ) Б)

2.2.4 Заполните пропуски:

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), тогда

1. Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно ____________ производной от пути по времени.

2. _______________ прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или _____________ производной от пути по времени

2.2.5 Заполните пропуски:

Алгоритм составления уравнения касательной и нормали

1. Обозначьте абсциссу точки касания х₀.

2. Вычислите □ .

3. Найдите и вычислите □ .

4. Найденные значения х₀, f(х₀), подставьте в уравнение касательной и нормали.

5. Уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой х₀ имеет вид:

_________________________________________________

Уравнение нормали к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой х₀ имеет вид:

____________________________________________

6. Выполните упрощение, полученных уравнений

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9

Частные производные

.

1. Цель работы

1. Научиться находить частные производные функции двух переменных

2. Научиться находить локальные экстремумы функции двух переменных.

2. Ход работы

1. Вариант

Найти частные производные и функции .

1. z = ________________________

2. z = ________________________

3. Найти полный дифференциал функции z = ______________________;

4. Вычислить значения частных производных для данной функции в точке :

f (x,y) = ____________________________ , M₀( ____ ; ___ );

5. Найти частные производные и функции .

z = ________________________

Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в том, что .

6. z = ________________________

7. z = ________________________

8. Исследовать на экстремум функцию z = ________________________

9. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция U.

____________________________________________________________________

2.2. Допуск к работе

1. Заполните пропуски:

А) При вычислении z’_x , считают, что х – это __________ , а у – постоянная (число).

Б) При вычислении z’_у , считают, считают, что х – это постоянная (число),

а у – ____________________

2. Заполните таблицу

ln( 5x-8y)
(2х+3у)соs(4x+12y) Воспользуйтесь правилом вычисления производной произведения (uv)’=u ’ v + u v ’
Воспользуйтесь правилом вычисления производной частного

3. Вычислить значение функции в точке M₀(2;-1)

___________________________________________________________

4. Заполните таблицу:

5. Заполните таблицу:

8x3y5
sin(3x+12y)
cos(7x-17y)
e 4x+5y

6. Запишите формулу для вычисления полного дифференциала функции двух переменных

_____________________________________________________________________________

7. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции нескольких переменных

____________________________________________________________________________________________________________

8. Как находят r, s, t, ∆ для проверки достаточного условия экстремума функции двух переменных?

_____________________________________________________________________________

9. Какими должны быть r и ∆, чтобы точка была точкой минимума?

_____________________________________________________________________________

10. Каким должно быть ∆, чтобы точка не являлась точкой экстремума?

_____________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10

Решение задач дифференциального исчисления

в MathCAD.

1. Цель работы

1. Научиться находить с помощью пакета MathCAD производные первого

и второго порядков функций одной и нескольких переменных.

2. Научиться применять производную для решения геометрических

физических задач с помощью пакета MathCAD.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1 Вариант

1. Найти производную первого порядка