1.7. Некоторые свойства графиков функций.

Рассмотрим основные принципы построения графиков функции вида:

.

Если к аргументу функции прибавляется (вычитается) произвольное положительное число С, то происходит смещение графика функции вдоль оси абсцисс на С единиц влево (вправо) по отношению к исходному графику.

Если аргумент функции умножается (делится) на постоянное положительное число А (А>1), то график этой функции сжимается (растягивается) по оси абсцисс в А раз по сравнению с исходным графиком.

Если аргумент функции умножается (делится) на постоянное отрицательное число А, большее единицы, то график этой функции сжимается (растягивается) по оси абсцисс в А раз по сравнению с исходным графиком и зеркально отображается относительно оси ординат.

Если к функции прибавляется (отнимается) какое-либо положительное число А, то график этой функции перемещается по оси ординат на А единиц вверх (вниз).

Если функция умножается на произвольное число А, большее единицы, то график этой функции вытягивается по оси ординат в А раз, если число А положительно, и кроме этого зеркально отображается относительно оси абсцисс, если число А отрицательно.

П ример 1. Построить графики функции: .

Решение:

Построим сначала график функции , а затем сместим его по оси абсцисс на три единицы вправо и получим график функции .

Пример 2. Построить графики функции: .

Решение:

Построим сначала график функции , а затем сожмем его по оси абсцисс в 2 раза.

1.8. Предел функции.

Функции могут иметь предел. Что же нужно понимать под пределом функции?

О пределение: Функция у=f(x) имеет предел А при х→а, если при приближении х к а значение функции как угодно близко подходит к А, то есть .

Для первого графика, изображенного на рисунке, , а для второго .

Можно дать более строгое определение предела функции: пусть функция определена в некоторой области, включающей точку а. Говорят, что стремится к пределу А (yА) при х стремящемся к а (xa), если для любого сколь угодно малого, наперед заданного числа , можно указать такое положительное число , что для всех ха и удовлетворяющих неравенству |x-a|< имеет место неравенство |f(x)-А|<.

Математическая запись предела функции: .

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел постоянной величины равен этой величине:

.

2. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) пределов этих функций:

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что делитель не будет равен нулю:

, если только .

Некоторые важные пределы.

1).

2). , если х – длина дуги или угол, выраженный в радианах.

3).

1.9. Вычисление пределов.

Для вычисления пределов используют основные теоремы и правило Лопиталя (при возникновении «неопределенности» вида 0/0 или ∞∕∞), согласно которому предел частного двух функций равен пределу отношений производных этих функций: , при условии, что этот предел существует. Если после использования этого правила снова возникает неопределенность, то его применяют вторично.

Пример 1. Найти предел функции: .

Решение: .

Пример 2. Найти предел функции: .

Решение: .

Пример 3. Найти предел функции: .

Решение:

Пример 4. Найти предел функции: .

Решение: .

Пример 5. Найти предел функции: .

Решение:

Пример 6. Найти предел функции: .

Решение: При подстановке х=0 получаем неопределенность 0/0. Тогда по правилу Лопиталя: .

Пример 7. Найти предел функции: .

Решение: При подстановке х=2 получаем неопределенность 0/0, которую раскрываем по правилу Лопиталя:

.

Пример 8. Найти предел функции: .

Решение:

При подстановке х=∞ получаем неопределенность ∞∕∞, которую раскрываем по правилу Лопиталя: .