9.2. Транспортная задача.

Пусть имеется три склада продукции и два потребителя. Например, есть три аптечных склада и две аптеки, получающих лекарства от трех складов. Лекарства доставляет транспортная компания, желающая минимизировать стоимость перевозок. Для простоты положим, что сумма всех запасов на складах в точности равна потребностям аптек. Это так называемая сбалансированная транспортная задача. Положим также, что обратных перевозок (от аптек на склад) нет. Обозначим количество продукции от склада i в аптеку j. Тогда можно записать две системы уравнений: исходя из возможностей поставщиков и исходя из потребностей аптек. Запишем эти системы.

Исходя из возможностей поставщиков:

Исходя из потребностей потребителей:

Это и есть формализованная транспортная задача. Ее оформление и решение обычно идет в серии таблиц, называемых транспортными.

Рассмотрим ход решения на конкретном примере. Пусть поставщиков три, потребителей четыре. Задача сбалансированная. Исходные данные приведены в таблице. В ячейках таблицы приведены стоимости перевозок с соответствующего склада к конкретному поставщику. Обозначим поставщиков через А1, А2, А3. Потребителей – В1, В2, В3, В4.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	3	5	7	11	100
А2	1	4	6	3	130
А3	5	8	12	7	170
Заявки	150	120	80	50	400

Проверяем задачу на сбалансированность: 150+120+80+50=400, 100+130+170=400. Задача сбалансированная.

Решение идет в несколько этапов.

1. Составляется первоначальный, так называемый, опорный план. Проще всего это сделать методом минимального элемента. Суть метода: из всей таблицы выбираем клетку с минимальной стоимостью перевозки. Это стоимость перевозки из склада А2 к потребителю В1. Стоимость 1 руб. Выделено жирным курсивом. Помещаем в эту клетку всю перевозку:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	3	5	7	11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3
А3	5	8	12	7	170
Заявки	20	120	80	50

Далее из рассмотрения исключаем строку, если запас у этого поставщика израсходован, или столбец, если запрос удовлетворен. В нашем случае поставщик А2 перевезет весь свой запас в пункт В1 по стоимости за 1 руб. Однако, заявка В1 полностью не выполнена. Далее в последней таблице вновь ищем минимальную стоимость. Это С₁₁=3 руб. Отправляем из А1 в В1 недостающие 20 единиц товара. Потребности В1 будут полностью удовлетворены. Промежуточная таблица примет вид:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	20 3	5	7	11	80
А2	130 1	0 4	0 6	0 3
А3	0 5	8	12	7	170
Заявки		120	80	50

Вновь ищем минимальный элемент. Это С₁₂, поэтому всю перевозку направим из А1 в В2. Это будет 80 единиц. Вписываем это в таблицу.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	20 3	80 5	0 7	0 11
А2	130 1	0 4	0 6	0 3
А3	0 5	8	12	7	170
Заявки		40	80	50

Эту процедуру повторяем до тех пор, пока все запасы не будут развезены по потребителям. Получим итоговую таблицу, в которой содержится опорный план перевозок.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	20 3	80 5	0 7	0 11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3	130
А3	0 5	40 8	80 12	50 7	170
Заявки	150	120	80	50	400

2. Второй этап: расчет полной стоимости перевозок и проверка плана на оптимальность (минимум стоимости).

Полная стоимость перевозок:

Методов оптимизации существует достаточно много. Мы рассмотрим наиболее простой – метод псевдостоимостей или метод потенциалов. В этом методе вводят псевдостоимость в следующем виде:

Эти условные стоимости могут быть как положительными, так и отрицательными и равными нулю. Стоимость перевозки здесь раскладывается на две части – стоимость вывоза и стоимость ввоза. Тогда становится понятно, что план будет только тогда оптимальным, если псевдостоимости будут меньше или равны реальным стоимостям перевозки.

Тогда для тех клеток, в которых перевозки присутствуют, можно записать:

.

Составим систему уравнений для ненулевых клеток:

Найдем эти потенциалы для расчета псевдостоимостей и сравнения их с реальными стоимостями. Число уравнений меньше на единицу числа переменных. Поэтому любую переменную можно положить равной нулю. Чаще всего встречается . Пусть она будет равна нулю. Тогда решаем систему методом исключения неизвестных. Получим:

Вычисляем псевдостоимости и сравниваем их с реальными.

Так как есть псевдостоимости большие, чем стоимости, то предложенный опорный план не оптимален. Наибольшая разность, равная 2, в клетке (1,3). Следовательно, в план надо ввести перевозку из А1 в В3. В таблице опорного плана начинаем переставлять перевозки, начиная с этой клетки, не нарушая баланс задачи. Необходимо помнить, что перестановки перевозок должны идти только по замкнутому циклу, чтобы баланс задачи не нарушился.

Было:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	20 3	8 0 5	0 7	0 11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3	130
А3	0 5	40 8	80 12	50 7	170
Заявки	150	120	80	50	400

Стало:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	20 3	0 5	80 7	0 11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3	130
А3	0 5	120 8	0 12	50 7	170
Заявки	150	120	80	50	400

Рассчитываем стоимость перевозок.

Стоимость стала меньше. Вновь проверяем план на оптимальность.

Отсюда,

Число уравнений 5, число переменных равно 5. Можно произвольно назначить значения двум переменным. Пусть . Решаем систему уравнений обычным образом. В результате получим:

Вычисляем вновь псевдостоимости свободных клеток.

Вновь выбираем элемент с максимальной разностью стоимости и псевдостоимости и от него начинаем переставлять перевозки, контролируя, чтобы баланс задачи не нарушался.

Было:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	2 0 3	0 5	80 7	0 11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3	130
А3	0 5	120 8	0 12	50 7	170
Заявки	150	120	80	50	400

Стало:

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	0 3	20 5	80 7	0 11	100
А2	130 1	0 4	0 6	0 3	130
А3	20 5	100 8	0 12	50 7	170
Заявки	150	120	80	50	400

Определяем стоимость перевозок:

Проверяем на оптимальность. Определяем псевдостоимости и сравниваем их с реальными стоимостями:

Отсюда,

Решение системы методом исключения и назначения произвольно значений свободным переменным дает:

Находим псевдостоимости:

Найденный план оптимален, так как все псевдостоимости меньше или равны реальным стоимостям. Минимальная стоимость перевозок равна 2040 руб.