9.3. Введение в теорию массового обслуживания. Формулы Эрланга.

Системы массового обслуживания (СМО) – это системы, предназначенные для обслуживания некоторого потока заявок, поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Примеры СМО: телефонная станция, аптека, парикмахерская, справочное бюро и т.п.

СМО состоит из некоторого числа обслуживающих единиц, которые принято называть каналами обслуживания. В приведенных примерах под каналом обслуживания надо понимать телефонную линию, провизора, парикмахера, оператора справочной службы.

Время обслуживания заявки также предполагается случайным. После обслуживания канал освобождается и готов к новому обслуживанию.

Случайный характер потока заявок на обслуживание и случайное время обслуживания приводят к тому, что в какие-то моменты времени на входе СМО будет очередь, а в какие-то – простой.

Предмет теории массового обслуживания: построение математических моделей, связывающих условия работы СМО с показателями эффективности работы СМО.

Показатели эффективности работы СМО:

1. Среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

2. Среднее число занятых каналов.

3. Вероятность отказа в обслуживании.

4. Среднее время ожидания в очереди.

Составляющие СМО:

1. Входящий поток заявок.

2. Дисциплина очереди.

3. Механизм обслуживания.

4. Выходящий поток.

Схематически составляющие СМО показаны на рисунке.

Классификация СМО. Все СМО можно разбить на две большие группы:

• СМО с отказами (как в телефонии, если номер занят, то соединение не происходит, говорят отказ в обслуживании).

• СМО с очередью (магазин, касса, парикмахерская, автомойка).

СМО с очередью также подразделяются на следующие группы как показано на рисунке:

Рассмотрим более подробно входящий поток заявок, как одно из наиболее важных понятий. Потоком заявок на обслуживание называют совокупность заявок, поступающих на обслуживание. По регулярности появления заявок во времени потоки разделяют на регулярные и стохастические. При регулярном потоке заявки на обслуживание поступают строго через равные промежутки времени . При стохастическом потоке время появления заявки случайно.

Важнейшая характеристика потока заявок – интенсивность потока. Под интенсивностью потока принято понимать среднее число требований на обслуживание за единицу времени. В случае регулярного потока интенсивность можно записать в виде:

Входящий не регулярный поток называют стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований на обслуживание в течение определенного промежутка времени зависит лишь от длины этого промежутка. В стационарном потоке .

Поток заявок называют без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени число заявок за время не зависит от того, сколько их было за время .

Пусть - число заявок на обслуживание на интервале . Тогда поток называют ординарным, если , то есть в ординарном потоке за малый промежуток времени появление двух и более заявок на обслуживание практически невозможно.

Если поток ординарен, стационарен и не имеет последействия, то его называют простейшим потоком заявок на обслуживание.

Для простейшего потока число заявок на обслуживание распределено по закону Пуассона:

Простейший поток еще называют стационарный пуассоновский поток заявок.

Следующее важное понятие в СМО – время обслуживания . Вполне понятно, что это случайная величина. Запомним без доказательства, что ее закон распределения имеет вид:

, здесь Тогда

На примере классической задачи теории массового обслуживания, возникшей из практических нужд телефонии в начале 20 века, и впервые решенной датским математиком Эрлангом, рассмотрим основные показатели СМО и основные расчетные формулы для определения характеристик СМО. Эти формулы были названы формулами Эрланга. Они являются основным инструментом для определения технических характеристик СМО.

Введем обозначения:

Необходимо найти:

• А – абсолютную пропускную способность как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

• Q – относительную пропускную способность или среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых СМО.

• P_отк – вероятность отказа в обслуживании.

• K – Среднее число занятых каналов.

• P₀ – вероятность простоя СМО.

• P_k – вероятность того, что занято ровно k каналов.

Введем еще одно обозначение для упрощения записи формул Эрланга:

- приведенная интенсивность потока заявок. Ее смысл – среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки. С учетом принятых обозначений запишем основные формулы Эрланга.

Пример. Пусть имеется аптека, в которой пять продавцов. Пусть к ним обращаются покупатели с интенсивностью 1 человек в минуту. Время обслуживания одного покупателя есть случайная величина с показательным законом распределения и средним временем обслуживания 2 минуты. Предположим также, что покупатель уходит из аптеки не обслуженным, если все пять продавцов заняты в момент его прихода в аптеку. Необходимо вычислить основные характеристики СМО.

Решение.

Таким образом,

Вывод: В аптеке в среднем заняты два продавца из пяти. Каждый продавец загружен только на 39%. Уходят не обслуженными каждые четыре человека из ста. Значит можно либо уволить несколько продавцов, либо увеличить интенсивность потока заявок.