8.3. Ряд Фурье и интеграл Фурье

Если любую непрерывную в окрестности точки x₀ и бесконечное число раз дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ , то любую периодическую функцию f(x), заданную в интервале и имеющую интеграл в этом интервале можно представить в виде тригонометрического ряда или разложить в ряд Фурье:

, где

Разложение функции в ряд Фурье называют гармоническим анализом, а и - гармониками функции f(x). Величины и - амплитуды гармоник, а n- их частота.

П ример:

Необходимо разложить в ряд Фурье периодическую функцию у=х заданную на интервале 0<χ<2π (см. рисунок).

Запишем общий вид ряда Фурье и найдем его коэффициенты.

, где

,

,

.

Аналогично

,

и т.п. Тогда .

Результатом гармонического анализа является построение амплитудного спектра сложной функции.

Амплитудный спектр функции – это график зависимости амплитуды гармоник, составляющих данную функцию от их частоты.

П ример:

Построим амплитудный спектр периодической функции f(x), которая раскладывается в следующий ряд Фурье: .

График этой функции представлен на рисунке.

Амплитудный спектр данной функции будет иметь вид двух гармоник с частотами 1 и 2.

С ледует отметить, что амплитудный спектр периодической функции всегда дискретный.

Гармонический анализ широко применяется при исследовании сложных функциональных кривых, получаемых в электрокардиографии, электроэнцефалографии и т.п.

Как анализировать непериодическую функцию?.

Ф урье предложил рассматривать ее как периодическую на интервале , тогда ряд Фурье превращается в интеграл Фурье:

, где

A (w) и B(w) – амплитудные значения гармоник функции f(x), а w – их частота.

Знак интеграла показывает, что суммируются гармоники с плавно меняющейся амплитудой, поэтому амплитудный спектр непериодической функции всегда непрерывный.

Следует отметить, что любую непериодическую и интегрируемую на интервале функцию можно разложить в интеграл Фурье.

Раздел 9. Введение в математические методы оптимизации.

9.1. Оптимизация производства.

Математические методы оптимизации (ММО) используются при решении задач, в которых требуется выбрать одно решение, оптимальное по какому-то критерию, из нескольких возможных.

Пример 1. В районе обнаружены случаи опасного заболевания. Организуется медицинское обслуживание. Выделены средства, оборудование, медицинский персонал. Необходимо определить число медпунктов, их размещение, последовательность осмотров при условии ограничений на финансовые средства и ресурсы.

Пример 2. Необходимо приготовить раствор, содержащий вещество А и В. Даны два стандартных готовых раствора с концентрациями веществ в этих растворах . Стоимость единицы раствора С1 и С2 соответственно. Надо, чтобы в растворе было вещества А не менее α, а В не менее β при условии минимальной стоимости.

Формализуем последний пример в следующем виде:

В общем случае можно записать так. Пусть даны только две переменные, система ограничений-неравенств и целевая функция:

Пример 3. Фирма производит два продукта А и В. Рынок сбыта неограничен. Для выпуска продукции А и В необходимо использовать два станка. Время операции (в часах) на каждом станке для выпуска изделий А и В приведено в таблице.

	Станок 1	Станок 2
А	0,5	0,4
В	0,25	0,3

Время работы станков в неделю не может превышать 40 и 36 часов соответственно. Прибыль от продажи единицы продукции составляет 5 и 3 рубля соответственно. Необходимо определить, сколько каждого продукта необходимо выпускать, чтобы общая прибыль была максимальна. Формализуем данную задачу.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этой задачи. Пусть оси Декартовой системы координат. Построим в этой системе координат прямые, полученные из ограничений-неравенств. В этой же системе координат построим прямую линию (Z), соответствующую целевой функции при нулевой начальной прибыли. Она называется опорной прямой.

Первая прямая L1 получена из ограничения неравенства , прямая L2 – из .

Тогда область ниже этих прямых будет соответствовать ограничениям-неравенствам

Перемещаем опорную линию Z параллельно самой себе в направлении, перпендикулярном опорной линии по допустимой области. Перемещение соответствует росту прибыли от нуля (начальное положение опорной линии с нулевой прибылью) до максимально возможной, что соответствует положению линии прибыли на границе допустимой области (линия Z1). Найдем координаты точки на плоскости, соответствующей максимальной прибыли. Координаты и будут равны оптимальному выпуску продукции.

В общем случае, если опорная линия параллельна одной из линий, полученной из ограничений-неравенств, а область допустимых решений лежит вне прямых, то решений бесчисленное множество, так как можно произвольно менять выпуск одной из продукции. Если область не замкнута, то оптимального решения нет. Эти ситуации показаны на рисунках, представленных ниже.

Если необходимо не максимизировать целевую функцию, а минимизировать, то опорная прямая идет не в сторону максимизации целевой функции, а в сторону минимизации (к началу координат) от произвольной точки внутри области допустимых решений.

Если переменных больше двух, то графическое решение затруднительно и целесообразно искать его только на ЭВМ.