Раздел 8. Понятие о рядах.
8.1. Числовой ряд.
Метод разложения в ряд является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения дифференциальных уравнений.
Ряды бывают числовые и функциональные.
Определение:
Выражение вида:
называется
числовым рядом, а
- членами числового ряда, если они
являются числами, для которых известен
закон, позволяющий определить каждый
элемент этого ряда.
Числовые ряды бывают сходящимися и расходящимися.
Ряд называется сходящимся, если
последовательность частичных сумм
этого ряда имеет конечный предел:
,
где
- частичные суммы ряда. В противном
случае ряд является расходящимся.
Пример сходящегося ряда:
- геометрическая прогрессия.
Пример расходящегося ряда: (1+2+3…).
8.2. Функциональный ряд. Ряд Тейлора.
Функциональный ряд - это ряд, слагаемыми которого являются функции.
Из функциональных рядов чаще всего используют степенные ряды (это ряды, слагаемыми в которых являются степенные функции) и тригонометрические ряды (это ряды, слагаемыми в которых являются функции sin и cos).
Рассмотрим степенной ряд вида:
,
где
- являются коэффициентами степенного
ряда.
Данный ряд будет сходиться, если
,
то есть для значений х, находящихся
вблизи
,
или
,
где R – называется радиусом
сходимости ряда. Радиус сходимости
может быть определен по формуле
.
Для других значений х ряд может
расходиться.
Рассмотрим свойства степенного ряда:
1) Сумма степенного ряда есть функция
непрерывная в интервале сходимости
ряда
,
где R – радиус сходимости
ряда.
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости.
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале его сходимости (причем любое число раз).
Т.О. Сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой функцией.
Возникает вопрос: если у нас есть функция f(x) – непрерывная и бесконечное число раз дифференцируемая, то можно ли ее представить в виде степенного ряда? И как при этом найти коэффициенты данного ряда?
Возьмем непрерывную и бесконечное число
раз дифференцируемую функцию f(x)
и представим ее в виде степенного ряда:
Попробуем найти коэффициенты этого
ряда:
при
.
при
при
при
Тогда любой коэффициент данного ряда можно найти по формуле:
.
Делаем вывод: любую непрерывную и бесконечное число раз дифференцируемую функцию можно разложить в степенной ряд, который получил название ряда Тейлора и имеет вид:
(*)
Определение: Рядом Тейлора
функции f(x)
в окрестности точки x0
называется степенной ряд (*) относительно
разности (x-x0),
коэффициенты которого
выражаются через функцию f(x)
и ее производные в точке x0
по формулам:
Но чаще всего на практике используется не ряд Тейлора, а ряд Маклорена, который является частным случаем ряда Тейлора.
Ряд Маклорена – это разложение
функции f(x)
в ряд Тейлора в окрестности точки
x0=0, тогда
он примет вид:
.
Чтобы замена функции f(x) на ряд Тейлора была правомочна, необходимо, чтобы ряд сходился к нашей функции f(x).
Когда же ряд Тейлора сходится к f(x) -?
Условие сходимости ряда Тейлора к f(x).
Теорема. Если в некотором интервале, окружающем точку x0, абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом, то ряд Тейлора в этом интервале сходится к функции f(x).
Т.О. Разложение заданной функции в ряд Тейлора в окрестности точки x0 распадается на два этапа:
1) сначала находят производные функции f(x) в точке x0 и составляют ряд Тейлора;
2) находят интервал, в котором ряд Тейлора сходится к функции f(x).
Применение ряда Тейлора:
1) для приближенных вычислений значений функции;
2) для интегрирования сложных функций;
3) для решения дифференциальных уравнений.
Пример 1. Разложить функцию
в ряд Маклорена и найти интервал
сходимости этого ряда.
Решение.
Ряд Маклорена имеет вид
,
где
.
Найдем коэффициенты этого ряда:
. . . . .
Подставив коэффициенты в ряд Маклорена, получим:
Найдем интервал, в котором полученный ряд сходится к функции .
Так как
на всей числовой прямой, следовательно,
ряд Маклорена сходится к
на
всей числовой прямой.
Пример 2. Найти приближенное значение функции е.
Решение.
В предыдущем примере было получено разложение функции в ряд Маклорена: .
Используем данное разложение, присвоив переменной х значение 1.
Тогда получим:
Пример 3. Разложить функцию
в ряд Маклорена и найти интервал
сходимости этого ряда.
Решение.
Ряд Маклорена
имеет вид
,
где
.
Найдем коэффициенты этого ряда:
Подставив
коэффициенты в ряд Маклорена, получим
разложение функции
в ряд:
Найдем интервал, в котором полученный ряд сходится к функции .
Так как
на всей числовой прямой, следовательно,
ряд Маклорена сходится к
на всей числовой прямой.
Пример 4. Найти значение определенного
интеграла
,
который не берется обычными методами.
Решение:
Возьмем данный интеграл путем разложения подынтегральной функции Sinx в ряд Маклорена.
Разделим каждое
слагаемое на х и разложим данный интеграл
на сумму интегралов, которые являются
табличными. Найдем значение этих
интегралов:
Пример 5. Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
.
Решение.
Ряд Тейлора имеет вид
,
где
.
Найдем коэффициенты этого ряда:
Подставив
коэффициенты в ряд Тейлора, получим
Область
сходимости этого ряда можно найти по
формуле
,
где R – радиус сходимости
ряда. Данный ряд будет сходиться, если
,
то есть для значений х, находящихся
вблизи
,
или
.
Пример 6. Найти приближенное значение
функции
.
Решение:
Для этого разложим в ряд Маклорена
функцию
.
Ряд Маклорена имеет вид
,
где
.
Найдем производные этой функции:
Тогда коэффициенты данного ряда будут равны:
,
,
,
,
,
… .
Подставив их
значение в ряд получим:
Найдем значение логарифмической функции в точке 2
