- •Введение.
- •Раздел 1. Число. Переменная. Функция.
- •Действительные числа. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
- •1.2. Величина. Область изменения величины.
- •1.3. Упорядоченная переменная величина.
- •1.4. Функция.
- •1.5. Способы задания функции.
- •1.6. Элементарные функции. Свойства функций.
- •1.7. Некоторые свойства графиков функций.
- •1.8. Предел функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Некоторые важные пределы.
- •1.9. Вычисление пределов.
- •1.10. Непрерывность функции.
- •Раздел 2. Производная функции.
- •2.1. Понятие производной.
- •2.2. Таблица производных элементарных функций, свойства производных.
- •2.3. Нахождение производных функции.
- •2.4. Физический и геометрический смысл производной.
- •Раздел 3. Дифференциал функции.
- •3.1. Общие понятия.
- •Свойства дифференциала функции.
- •3.2. Нахождение дифференциала функций одной переменной.
- •3.3. Геометрический смысл дифференциала.
- •3.4. Применение дифференциала.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Применение производных и дифференциалов высших порядков.
- •Раздел 4. Частные производные и частные дифференциалы функций.
- •4.1. Функция двух переменных.
- •4.2. Частное и полное приращение функции двух переменных.
- •4.3. Частные производные функции двух переменных.
- •4.4. Нахождение частных производных функции нескольких переменных.
- •4.5. Частные дифференциалы функции нескольких переменных.
- •4.6. Полный дифференциал функции.
- •4.7. Скалярное поле.
- •Раздел 5. Неопределенный интеграл.
- •5.1. Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •5.2. Геометрический смысл неопределенного интеграла.
- •5.3. Таблица основных интегралов
- •5.4. Свойства неопределенного интеграла
- •5.5. Методы интегрирования
- •5.6. Проверка правильности нахождения неопределенного интеграла.
- •Раздел 6. Определенный интеграл.
- •6.1.Понятие определенного интеграла.
- •6.2. Геометрическая и физическая интерпретация определенного интеграла.
- •6.3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •6.4. Несобственный интеграл.
- •6.5. Свойства определенного интеграла
- •6.6. Методы интегрирования
- •6.7. Применение определенного интеграла.
- •6.8. Понятие двойного интеграла.
- •Раздел 7. Дифференциальные уравнения.
- •7.1. Дифференциальное уравнение, виды дифференциальных уравнений.
- •7.2. Способы составления дифференциального уравнения.
- •7.3. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •7.3.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •7.3.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •7.3.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •7.4.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.
- •7.4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка вида .
- •7.4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Раздел 8. Понятие о рядах.
- •8.1. Числовой ряд.
- •8.2. Функциональный ряд. Ряд Тейлора.
- •8.3. Ряд Фурье и интеграл Фурье
- •Раздел 9. Введение в математические методы оптимизации.
- •9.1. Оптимизация производства.
- •9.2. Транспортная задача.
- •9.3. Введение в теорию массового обслуживания. Формулы Эрланга.
- •Раздел 10. Задачи по высшей математике для самостоятельной работы.
- •Нахождение пределов функций
- •10.2. Вычисление производных и дифференциалов функций
- •10.2.1. Нахождение производных функций
- •10.2.2. Найти производные неявных функций
- •10.2.3. Найти частные производные и полные дифференциалы функций
- •10.3. Осуществить приближенные вычисления
- •11.1.2. Реология
- •11.1.3. Гемодинамика
- •11.1.4. Биофизика клетки.
- •11.1.5. Электрография.
- •11.2. Медицинская электроника.
- •11.3. Фармакология.
- •11.4. Стоматология.
- •11.5. Биология.
- •Раздел 8. Понятие о рядах. 51
- •Раздел 9. Введение в математические методы оптимизации. 57
- •Раздел 10. Задачи по высшей математике для самостоятельной работы. 68
- •Раздел 11. Примеры задач с применением высшей математики. 82
7.4.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.
Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
,
где А – некоторая постоянная.
Решение таких уравнений сводится к
решению дифференциальных уравнений
первого порядка после введения
вспомогательной функции
и подстановки ее в исходное уравнение.
Производная функции
равна
.
Подставим ее в исходное дифференциальное
уравнение второго порядка и получим
дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными,
решение которого хорошо известно.
Затем делаем
обратную замену:
И решаем это дифференциальное уравнение
первого порядка обычным образом.
Пример. Решить дифференциальное
уравнение второго порядка
Решение.
Введем
вспомогательную функцию
.
Подставим ее в исходное уравнение и
получим дифференциальное уравнение
первого порядка вида:
.
Решаем его обычным образом:
Подставим
начальные условия в полученное решение.
Так как у(0)=2,то
.
А так как
,
то
,
значит
.
Частное
решение исходного уравнения примет
вид:
.
7.4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка вида .
Решение уравнения данного вида можно
найти с помощью вспомогательной функции
.
При этом дифференциальное уравнение
второго порядка сводится к уравнению
первого порядка с разделяющимися
переменными:
.
Последовательность действий при решении
такова:
Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Решение. Преобразуем исходное
дифференциальное уравнение:
.
Введем функцию
,
тогда
.
Найдем решение данного дифференциального уравнения.
,
,
,
.
Делаем обратную замену:
,
тогда
,
.
После интегрирования получим общее
решение:
.
7.4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Определение:
Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение
вида:
Процедура решения таких дифференциальных уравнений состоит из следующих этапов:
Составляют характеристическое алгебраическое уравнение вида
.
В этом уравнении постоянные коэффициенты
берут из исходного дифференциального
уравнения второго порядка.
Находят корни характеристического уравнения, от значения которых и зависит вид решения дифференциального уравнения.
Рассмотрим, какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при различных вариантах значений корней характеристического уравнения.
Корни характеристического уравнения действительные, разные и равные
Запомним без доказательства, что в этом
случае общее решение исходного
дифференциального уравнения записывают
в виде:
Корни характеристического уравнения действительные, равные между собой
.
В этом случае общее решение имеет вид:
Если действительных корней характеристического уравнения нет, то говорят, что корни характеристического уравнения есть так называемые комплексные числа вида:
,
где α, β действительные числа, i
– так называемая мнимая единица
.
При этом
.
Тогда общее решение дифференциального уравнения записывают в виде:
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
.
Находим корни уравнения:
Общее решение имеет вид:
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Составим
характеристическое уравнение
Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при заданных начальных условиях. Подставим начальные условия в найденное решение:
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение.
Составим
характеристическое уравнение:
.
Найдем корни
характеристического уравнения:
,
тогда
.
Значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
Дополним решение
начальными условиями. Пусть
