7.3. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка определяется выражением: . Это уравнение может не содержать в явном виде х и у, но обязательно содержит у'.

Если уравнение можно записать в виде , то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Такое уравнение будет иметь общее решение.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения первого порядка является множество решений вида , где С – произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения дифференциального уравнения.

Определение: Решение дифференциального уравнения, в котором константа определена из граничных, начальных либо каких-то других условий, называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение: Если решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения .

Единого метода нахождения решения дифференциального уравнения нет. Рассмотрим решение некоторых видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.

7.3.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде .

Правая часть этого уравнения представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Пример: - уравнение с разделяющимися переменными, а уравнение вида нет, так как в данном случае .

Последовательность решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1) Исходное уравнение приводят к виду: .

2) Записывают производную в этом уравнении через отношение дифференциалов: и получают уравнение вида: .

3) Разделяют переменные: .

4) Ставят знак интеграла перед правой и левой частями: и интегрируют почленно.

5) Затем выражают у через х: у=f(x) +С – это и будет общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1: Найти решение уравнения: .

Решение.

Запишем производную через отношение дифференциалов и получим:

Разделим переменные: .

Поставим знак интеграла перед правой и левой частями: .

Возьмем интегралы и получим уравнение: .

Выразим значение у через х. Чтобы константа при нахождении y=f(x) не оказалась в показателе степени, представим ее через логарифм другой постоянной: С=lnC₁, тогда . Разность логарифмов есть логарифм частного, значит: . Следовательно, по определению логарифмической функции: . Тогда - это общее решение дифференциального уравнения.

Если задано дополнительное условие, например y(0)=2, то, подставляя его в общее решение, найдем значение константы С: , тогда С=2.

Значит - частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию: у=6 при х=2.

Решение:

Запишем производную через отношение дифференциалов и получим: .

Разделим переменные: .

Поставим знак интеграла перед правой и левой частями: .

Возьмем интегралы и получим уравнение: .

Если функции равны, то равны и их аргументы, следовательно - общее решение дифференциального уравнения.

Подставив начальные условия у=6 при х=2 в общее решение, определяем значение константы С: 6=С(2+1), следовательно С=2.

Окончательно получим: у=2(х+1) – частное решение.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Подставляя значение в исходное уравнение и вынося общий сомножитель х первых двух слагаемых за скобку, получим:

Перенесем одно из слагаемых в правую часть уравнения: . Разделим переменные. Тогда .

Поставим знак интеграла перед правой и левой частями: .

Интегрируя, будем иметь: .

В данном примере искомая функция выражена неявно. Значит, мы получили общий интеграл.