6.8. Понятие двойного интеграла.

Понятие определенного интеграла может быть обобщено в различных направлениях. До сих пор областью интегрирования простого определенного интеграла был отрезок числовой прямой. Если за область интегрирования взять некоторую плоскую площадку, то получится двойной интеграл, если часть поверхности – то поверхностный интеграл, если отрезок некоторой кривой линии – то криволинейный интеграл.

Рассмотрим общий вид двойного интеграла: .

При нахождении двойных интегралов используются те же приемы, которые были рассмотрены ранее.

Пример: .

Пример: Найти площадь поверхности конуса высотой H, представленного на рисунке. Решение:

Площадь поверхности такого конуса можно найти как сумму элементарных площадок ds, на которые разбивается вся его поверхность. Площадь ds рассчитывается как произведение длины элементарной площадки на ее высоту. Длина площадки ds равна произведению радиуса сечения конуса (r) на элементарный угол (dφ), где радиус сечения является катетом прямоугольного треугольника и определяется через другой его катет z и противолежащий угол α по формуле: . Высота площадки ds равна , так как она расположена под углом α к оси z. Тогда вся поверхность конуса:

.

Пример: Найти интеграл по поверхности конуса:

,

так как .

Раздел 7. Дифференциальные уравнения.

7.1. Дифференциальное уравнение, виды дифференциальных уравнений.

При решении различных задач математики, физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные. В этом случае мы приходим к дифференциальному уравнению.

Определение: Дифференциальным называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимую переменную и производные первого, второго и т.д. порядка.

Порядок дифференциального уравнения определяется наибольшим порядком производных, входящих в это уравнение.

Дифференциальные уравнения бывают:

1. Обыкновенные – когда неизвестная функция зависит только от одного аргумента, например: или .

2. Уравнения с частными производными – когда функция зависит от нескольких независимых переменных, например:

- (волновое уравнение)

7.2. Способы составления дифференциального уравнения.

Существует три основных пути сведения задачи к дифференциальному уравнению:

1) условия задачи выражают в виде соотношения между приращениями рассматриваемых величин. Затем приращения заменяют на дифференциалы и приходят к дифференциальному уравнению;

2) исследуемую функцию, ее производную и аргумент связывают друг с другом на основании подходящего закона и получают уравнение с производными;

3) преобразуя заданные соотношения, которым по условию должна удовлетворять искомая функция, находят дифференциальное уравнение.

Примеры по составлению дифференциальных уравнений:

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение для определения закона роста числа клеток, если известно, что скорость роста их числа пропорциональна общему числу клеток в каждый момент времени.

Решение.

Обозначим через N(t) число клеток в произвольный момент времени. Мгновенная скорость роста числа клеток – это первая производная по времени от их числа, то есть . Тогда: где к – коэффициент пропорциональности.

Пример 2. Написать закон поглощения рентгеновских лучей тканями организма в дифференциальном виде, если известно, что ослабление интенсивности рентгеновских лучей прямо пропорционально самой интенсивности и толщине слоя, через который проходит излучение.

Решение.

Если обозначить I(х) интенсивность рентгеновских лучей падающих на объект, то изменение интенсивности прошедших через объект лучей будет ∆I, а ослабление интенсивности -∆I. Обозначим ∆x толщину слоя, через который проходит излучение, тогда закон ослабления интенсивности рентгеновских лучей тканями организма примет вид: , где k коэффициент пропорциональности. Заменив знак ∆ на знак дифференциала, получим: .

Пример 3. Написать закон радиоактивного распада в дифференциальном виде, если известно, что скорость распада радиоактивного элемента в каждый момент времени пропорциональна наличной его массе.

Решение;

Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была , а в момент времени t она стала х(t).

Тогда скорость распада равна . По условию задачи скорость распада радиоактивного элемента в каждый момент времени пропорциональна наличной его массе, то есть , где k – коэффициент пропорциональности.

Пример 4. Записать в дифференциальном виде закон охлаждения тела на воздухе, если известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и воздуха.

Решение.

Пусть Т(t) температура тела в произвольный момент времени, а Т0 – температура воздуха.

Температура тела меняется со временем, значит, скорость его охлаждения будет равна производной по времени от температуры тела, взятой со знаком (-): . Введем k – коэффициент пропорциональности и запишем искомое дифференциальное уравнение:

Пример 5. Тело массы m движется прямолинейно под действием силы, возрастающей на k единиц в секунду. Написать дифференциальное уравнение, позволяющее определить изменение скорости движения тела со временем.

Решение.

Если тело движется прямолинейно под действием силы, то его движение подчиняется второму закону Ньютона: . Но ускорение тела – это первая производная от скорости движения тела по времени, то есть . Кроме того, известно, что сила возрастает со временем на k единиц: .

Тогда искомое уравнение будет иметь вид: .