6.3. Формула Ньютона-Лейбница.
Непосредственное вычисление интеграла как предела соответствующих интегральных сумм затруднительно, да и не требуется, поскольку для этой цели можно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница. Согласно которой, значение определенного интеграла равно разности значений его первообразных, взятых на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
,
где F(x)
– первообразная функция f(x).
6.4. Несобственный интеграл.
И
нтеграл
с бесконечными пределами называется
несобственным и находится как:
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для прочих бесконечных интервалов
(-∞,b] и (-∞,∞).
Несобственный интеграл можно интерпретировать как площадь бесконечной криволинейной трапеции.
Пример:
6.5. Свойства определенного интеграла
1) Определенный интеграл с симметричными
пределами равен нулю:
2) При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла меняется на противоположную величину:
3) Если отрезок интегрирования разделен
на конечное число частичных отрезков,
то определенный интеграл от функции
f(x) на отрезке
[a,b] равен
сумме определенных интегралов от этой
функции на каждом из частичных отрезков:
a c k b
4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
.
5) Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.
6) Если подынтегральная функция в
интервале интегрирования не меняет
знака, то интеграл представляет собой
число того же знака, что и функция. В
частности, если f(x)≥0
в интервале [a,b],
где а<b, то и
.
Это свойство называют свойством
монотонности определенного интеграла.
7). Если одна из функций, интегрируемых
на отрезке [a,b]
(причем, а<b), больше
другой во всех точках данного отрезка,
то определенный интеграл от первой
функции соответственно больше
определенного интеграла второй функции,
то есть, если
,
то
.
8). Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a,b] равен произведению величины этого отрезка на значение данной функции в некоторой точке с, находящейся внутри этого отрезка:
,
где f(с) называется средним
значением функции на интервале [a,b].
6.6. Методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования.
Пример:
Пример:
Метод замены переменной.
Пример:
│
,
где 1+t=k
, а dt=dk.
При замене переменной меняются и пределы интегрирования, которые следует находить из соотношения замены 1+t=k, где вместо t подставляем старые пределы интегрирования, а k дает значение новых пределов.
Пример:
Метод интегрирования по частям:
│
.
Пример:
Пример:
6.7. Применение определенного интеграла.
1). Вычисление площадей плоских фигур
Пример: Вычислить площадь фигуры АВСD.
Решение:
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
и
.
Решение: Найдем точки пересечения
кривых, для этого приравняем у1
и у2:
.
Данное тождество верно при х=0 и х=1. Тогда
площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
будет равна:
.
2)
Вычисление объема тел вращения.
Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x), осью ОХ и прямыми х=а и х=b. Вращая эту фигуру вокруг оси ОХ, получим тело вращения. Для вычисления объема тела вращения применяется формула:
,
где S = π y²
- площадь сечения, а S∙∆x=
π y²Δx-
объем выделенного кусочка.
Пример: Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ трапеции, ограниченной линиями у=х/2+4, у=0, х=0, х=6.
Решение:
куб.единиц.
3) Определение поверхности тела вращения.
П
усть
есть конус с осью симметрии z
и образующей, составляющей угол α с
осью z. Разобьем поверхность
конуса на небольшие участки, проведя
плоскости перпендикулярно оси z.
Тогда площадь выделенного участка будет
равна
Si
= 2πr∙dl,
но
, а
,
следовательно
.