5.5. Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование.

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и их свойств.

Пример:

Пример:

Пример:

Следует отметить, что хотя при взятии каждого интеграла появляется своя константа, однако окончательный результат выражается через одну произвольную постоянную, являющуюся их линейной комбинацией.

2. Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул.

Пример:

Пример:

Пример;

3. Метод подведения под знак дифференциала.

В данном методе для приведения искомого интеграла к табличному виду преобразовывают дифференциал аргумента функции. Дифференциал не меняется, если к переменной прибавить или отнять постоянную величину, а если переменную увеличить в несколько раз, то дифференциал необходимо умножить на обратную величину, то есть .

Пример:

Пример:

Пример:

4. Метод выделения полного квадрата из квадратичного трехчлена.

Пример:

Пример: .

5. Метод замены переменных

Этот метод основан на замене переменной интегрирования в неопределенном интеграле. Основная цель - свести его нахождение к нахождению такого определенного интеграла, который может быть найден методом разложения.

Замечание. Подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной, так как выполняются те же действия, только не вводится новая переменная.

Пример: ∫ .

Введем новую переменную z=x+2. Найдем из этого уравнения связь между дифференциалами старой и новой переменной. Для этого продифференцируем левую и правую часть уравнения z=x+2. Получим: dz=dx.

Тогда наш интеграл примет вид:

= =ln│z│+c= ln│x+2│+c

Пример : .

Если внимательно посмотреть на числитель и знаменатель подынтегрального выражения, то можно заметить, что числитель с точностью до постоянного множителя представляет собой дифференциал знаменателя. Тогда можно ввести новую переменную z=x +7. Тогда связь между dz и dx можно найти из последнего выражения, продифференцировав левую и правую его части: dz=2x∙dx. Тогда наш интеграл примет вид табличного интеграла:

= = = ln│z│+c= ln│x +7│+c

Перейдя к старой переменной в конечном результате, получим искомое решение интеграла.

Пример:

Введем замену переменной: , так, чтобы избавиться от квадратного корня в знаменателе. Тогда . Затем продифференцируем данное выражение: . Значит, .

Подставим замену в исходное выражение и возьмем интеграл:

Пример:

Введем замену переменной: .

Продифференцируем данное выражение: .

Выразим dx через dz. Получим: .

Подставим замену в исходное выражение и возьмем интеграл:

Пример: .

Введем замену u=cosx. Продифференцируем данное выражение:

du= -sinx∙dx. Выразим du через dx, подставим в исходное выражение и возьмем интеграл:

= = - = -ln│u│+c= - ln│cosx│+c

Пример: .

Используем подстановку u=sinx и du=cosx∙dx. Тогда

= = =

6. Интегрирование по частям.

Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям: , где u(x) и v(x) – функции, имеющие непрерывные производные в некотором промежутке. При использовании данной формулы нахождение исходного интеграла сводится к нахождению интеграла , причем эту процедуру имеет смысл проводить лишь в том случае, если новый интеграл проще исходного и может быть найден с использованием рассмотренных выше способов интегрирования.

1) Интегралы вида , , , где

Р(х)- многочлен решаются по частям при замене dv=P(x)dx, и u – другие сомножители.

Пример:

Подынтегральное выражение подставим виде udv. Через u следует обозначить lnx, а через dv=xdx.

Тогда du= dx, а v= . Согласно формуле интегрирования по частям:

Пример: .

Обозначим u=arcsinx, тогда .

Пусть dv=dx, тогда .

Искомый интеграл будет равен:

Интеграл в правой части можно взять методом подстановки.

Введем подстановку: 1-x =z, dz=-2xdx. Тогда

Теперь подставим полученную формулу в первоначальный интеграл:

= .

2) Интегралы вида , , , где

Р(х) –многочлен, к – константа решаются по частям, при обозначении u=P(X), а dv – все остальные сомножители.

Пример: , где обозначили: x=u , тогда , а sin(х)dx=dv, тогда .

Пример: , где обозначили u=x, тогда , а , тогда .

3) Интегралы вида , .

Здесь надо сначала сделать замену переменной, а затем интегрировать по частям.

Пример: , где сделали сначала замену переменной x=t², тогда dx=2tdt, а затем взяли интеграл по частям по аналогии с предыдущим примером.

4) Интегралы вида , , где a и b – константы берутся следующим образом: за u можно взять , sin(bx) или cos(bx). Замена производится дважды.

Пример :

Обозначим u=e , тогда du=e dx.

Обозначим dv=cosxdx, тогда v= =sinx.

Применим формулу интегрирования по частям:

- .

Возьмем еще раз правый интеграл по частям. Для этого обозначим u=e , тогда du=e dx и обозначим dv=sinxdx, тогда v= = -cosx.

Тогда

Подставим значение полученного интеграла в выражение исходного интеграла, получим:

Перенесем последний интеграл правой части в левую сторону уравнения и получим:

, тогда = .

Следует отметить, что, несмотря на то, что последний способ интегрирования представляется наиболее сложным из рассмотренных, универсальным он не является, и его следует использовать лишь в тех случаях, когда предыдущие способы не дают необходимого результата.