Раздел 5. Неопределенный интеграл.

5.1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Определение: Функция F(x), дифференцируемая на интервале (a, b), называется первообразной для функции f(x) на данном интервале, если для всех значений х, принадлежащих этому интервалу, выполняется равенство: .

Например: является первообразной для , так как , но , тоже первообразная функции и т.п., следовательно, вся совокупность функций есть первообразные функции .

Если для некоторой функции существует хотя бы одна первообразная, то можно утверждать, что для нее существует бесчисленное множество первообразных, различающихся между собой на постоянные величины.

Определение: Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

При этом f(x) называют подынтегральной функцией. А выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, причем аргумент х подынтегральной функции выступает здесь также в качестве переменной интегрирования.

Интегрирование – действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.

Всегда ли существует первообразная для заданной функции f(x)?

Примем без доказательства, что если функция непрерывна на (a, b), то она имеет первообразную, а, следовательно, и неопределенный интеграл на этом интервале.

5.2. Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Геометрический смысл неопределенного интеграла – это семейство графиков первообразных , смещенных вдоль оси OY на произвольную константу. На рисунке представлен пример первообразных для функции у= -cosх.

Пример: Известно, что график функции f(x) проходит через точку А(2,5), а скорость изменения данной функции имеет вид . Построить график функции f(x).

Решение:

Т ак как функция f(x) является первообразной для функции v(x), то значение ее можно найти, взяв неопределенный интеграл от функции v(x). . Ответ получен с точностью до константы С, найти которую можно из дополнительного условия: график функции f(x) должен проходить через точку А(2,5). Подставим в выражение функции f(x) координаты точки А и получим: . Тогда искомая функция будет иметь вид: - это парабола.

Чтобы научиться находить первообразную функции, в первую очередь необходимо выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если , то . Далее необходимо знать свойства неопределенного интеграла и освоить простейшие приемы интегрирования.

5.3. Таблица основных интегралов

5.4. Свойства неопределенного интеграла

Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интеграла, которые позволят интегрировать не только основные элементарные функции.

1) Производная от неопределенного интеграла функции f(x) равна самой этой функции:

.

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до константы:

.

Пример: ∫dx=х+с.

Пример:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Пример:

5) Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

Пример: .

Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: если , то , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.

Пример: , поэтому

, . Сравните с .

В интегральном исчислении нет универсального способа интегрирования. Применение различных методов приводит данный интеграл к табличному, который надо узнать с учетом свойства инвариантности.