11.Тождественное отображение. Обратимое отображение.

Определение 50. Отображение называется тождественным, если , и обозначается .

Замечание. Пусть - функция, тогда и

Доказательство. .

Определение 51. Отображение называется обратимым, если существует отображение , такое, что . fg= и gf= . В этом случае функция g называется обратной для функции f.

Замечание. Если в определении 51 выполняется 1-ое равенство то функция g называется правой обратной функцией для f, а если 2-ое то левой обратной функцией для f.

Лемма 1. Пусть , - функции. Если gf= , то f – инъективная функция, а g – сюръективная функция.

Доказательство. 1) Покажем что f - инъективная функция. Проверим, что выполняется определение 46.

Пусть f( ) = f( ). Покажем, что = . Действительно, ( ) gf( ) g(f( ))= g(f( )) gf( ) ( ) x-инъективна.

2) Покажем, что g-сюръективная функция.

g - сюръективная функция.

12. Критерий обратимости функции.

Теорема 5. Пусть - функция.

Функция f обратима f - биекция.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть f – обратимая функция. Покажем, что f – биекция. Т.к. f – обратима, то по определению 51 существует , такая что, fg= и gf =

f g= f – сюрективна f – биекция. Необходимость доказана.

gf = f – инъективна

2. Достаточность. Пусть f – биекция. Покажем, что f – обратимая функция.

Пусть - функция, заданная по правилу: g(b)=a f(a)=b (*)

Покажем, что g–функция, обратная для f:

а) : fg( ) =

б) :

По определению 51, g является обратной функцией для f, и f обратима. Достаточность доказана. Теорема доказана.

14