9. Функциональное отношение. Функции.
Определение 39.
Бинарное отношение f
между множествами A
и B
называется функциональным
отношением,
если
из (a,b)
f
и (a,c)
f
b=c.
A
B A B
функциональное отношение, не является функцион. отношением
но не функция
О
пределение
40. Функциональное
отношение f
между множествами A
и B
называется функцией
или отображением A
в B,
если Dom
f
=A,и
обозначается
f
: A
B
или A
B.
A
f
Функция и
функциональное
отношение
B
Замечание. Если f : A B – функция, то каждому элементу a A соответствует единственный элемент b B и записывается f(a)=b (a,b) f a f b.
О
пределение
41. Пусть f
: A
B
функция, a
A,
b
B.
Если f(a)=b,
то b
называется
образом
элемента a
при отображении f
; элемент a
называется прообразом
элемента
b
при отображении f.
A
f
B
Определение 42. Пусть дана функция f:A B, A0 A. Множество f(A0)={f(a)|a A0} называется образом множества A0 при отображении f.
A
B
f
f(A0)
Определение 43. Пусть f : A B функция, b B. Множество f-1(b)={a A|f(a)=b} называется полным прообразом элемента b при отображении f.
A
B
a1, a2 – прообразы b.
{a1,a2} – полный прообраз при отображении f.
Определение 44.
Пусть f
: A
B
функция, B0
B.
Множество f-1(B0)=
называется
полным
прообразом множества
B0
при отображении f.
Отметим, что f-1(B)=A, f(A) B.
Определение 45. Отображение f : X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если x1, x2 X из x1 x2 f(x1) f(x2). «разным соответствуют разные»
Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.
Определение 46. Отображение f : X Y называется инъективным, если x1,x2 X из f(x1)=f(x2) x1=x2. «если образы равны, то и прообразы равны»
Определение 47. Отображение f : X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е. y Y x X т. что f(x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»
Определение 48. Отображение f : X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.
Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.
A f B
не
является инъекцией
f B
A
инъекция,
не сюръекция
A
B
f
сюръекция,
инъекция
биекция
10. Композиция (произведение) функций.
Определение 49. Пусть f : X Y, g : Y Z - функции. Композицией (произведением, суперпозицией) функций f и g называется отображение gf : X Z заданное по правилу: x X: gf(x) = g(f(x)) .
Теорема 4. Композиция функций ассоциативна.
Доказательство.
Пусть f : X Y, g : Y Z, h : Z T – функции.
Покажем, что h(gf) = (hg)f. Функции равны, если на каждую точку из области определения они действуют одинаково.
Т. к. gf : X Z и h : Z T, то h(gf) : X T.
Т. к. hg: Y T и f : X Y, то (hg)f : X T.
x0 X : (h(gf)(x0)) = (по определению композиции функций) h(gf(x0)) = h(g(f(x0))).
x0 X : ((hg)f)(x0) = (hg)(f(x0)) = h(g(f(x0)))
Получили, что x0 X: (h(gf))(x0) = ((hg)f)(x0), равенство функций доказано и композиция функций ассоциативна.