8. Отношение порядка.

Определение 29. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно.

Пример. , , <, >, = на множестве ℝ

Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно.

Пример. , , = на множестве ℝ.

Определение 31. Отношение порядка R на множестве А называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно.

Пример. <, >.

Определение 32. Отношение порядка R на множестве А называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно.

Пример. , , = на множестве ℝ.

Замечание. Из свойств антирефлексивности и транзитивности следует свойство антисимметричности.

По этому определение 31 ⇔ определению 31’.

Определение 31’. Отношение порядка R на множестве А называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно и транзитивно.

Пример. 1) Отношение кратности « » на множестве ℕ рефлексивно, т.к. a a, и транзитивно, т.к. из а b и b с  a с. Значит оно является отношением предпорядка на ℕ.

2) Отношение « » на ℤ не антисимметрично(из а b и b а  а=∓b), рефлексивно, транзитивно  Z – отношение предпорядка и не является отношением порядка.

Определение 33. Бинарное отношение R на множестве А называется связанным (связным), если  а, b  А, а b выполняется одно и только одно из условий: либо (а,b)  R, либо (b,а) R.

Пример. 1) < на ℕ – связное

2) ⊆ на P(U): существуют множества, такие, что A B, но А⊈В и В⊈А.Значит R не является связным на P(U).

Определение 34. Отношение порядка на множестве А называется отношением линейного порядка, если оно связано. В противном случае отношение порядка называется отношением частичного порядка.

Определение 35. Непустое множество А с заданным на нем отношением порядка R называется упорядоченным множеством и обозначается (А,R).

Пример. (ℕ, ) – упорядоченное множество.

Определение 36. Упорядоченное множество (А,R) называется линейно-упорядоченным, если R-отношение линейного порядка. Если R - отношение частичного порядка, то упорядоченное множество (А,R) называется частично-упорядоченным.

Определение 37. Пусть (А,R)- упорядоченное множество. Элемент а А называется минимальным (максимальным) элементом множества А, если  x  А:из (х,а)  R  x=a (из (а,х)  R  x=a).

Во множестве может быть несколько минимальных и максимальных элементов.

Пример. А={2,3,4,6,8,12,24}-множество всех натуральных делителей числа 24, отличных от 1. На А рассмотрим отношение «|» - делит без остатка.

Покажем, что 2-минимальный элемент:

Из xA и х 2  х=2

Покажем, что 3-минимальный элемент:

Из xA и х 3  х=3.

Определение 38. Пусть (А,R) - упорядоченное множество. Элемент а А называется наименьшим (наибольшим) элементом, если  x  А: (а,х)  R ( (х,а)  R)

Если во множестве есть наименьший элемент, то он единственен.

Определение 38. Линейное упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его не пустое подмножество содержит наименьший элемент.

Пример. (ℕ, ) - вполне упорядоченное множество.