6. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы.

Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Пример. «∥» на множестве всех прямых в пространстве, «=» на множестве ℝ.

Определение 28. Пусть А - непустое множество. Совокупность А₁,...,А_n непустых подмножеств множества А называется разбиением множества А на классы (при этом сами множества А₁,...,А_n называют классами), если каждый элемент множества А принадлежит одному и только одному из подмножеств А₁,...,А_n, т.е.

1) А₁ ... А_n=A;

2) A_i A _j = , i= , j= , j≠i.

Пример 1. Пусть А={1,2,3}. Тогда

1) A₁={1}, A₂={2}, A₃={3} – разбиение А;

2) B₁={123} – разбиение А.

Теорема 2. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А.Тогда множество А разбивается отношением R на классы, которые называются классами эквивалентности, а множество этих классов обозначается A/R (A по R) и называется фактормножеством множества А по отношению эквивалентности R.

Доказательство. Пусть R отношение эквивалентности на А.

Пусть а А, aR={x A| (a,x) R}(*)

Отметим, что aR A, а А.

Покажем что подмножества вида (*) образуют разбиение множества А. Для этого достаточно показать, что они удовлетворяют усл.1 и усл.2 из определения 28.

Усл.1) Покажем что =А

а) Покажем что А

Действительно, т.к. а А: аR А А

б) Покажем что А

Пусть b A. Покажем, что b . Действительно, т.к. R- отношение эквивалентности R-рефлексивно (b,b) R x=b bR А

Из а) и б) =А

Усл. 2) Пусть aR bR . Покажем, что вв этом случае aR=bR.

а) Покажем, что aR bR . Для этого ∀xaR покажем, что xbR.

Т.к. aR bR с аR bR. Тогда выполняются условия (1) c aR и (2) c bR

Согласно (*), из x aR (a,x) R

Аналогично, из (1) (a,c) R, и поскольку R симметрично, то (c,a) R. Ввиду транзит ивности R, из (c,a) R и (a,x) R (c,x) R

Далее, из (2) (b,c) R. Ввиду транзитивности R, из (b,c) R и (c,x) R (b,x) R x bR

Значит, aR bR.

б) Покажем bR aR

T.к. aR bR= c bR aR

(1)c bR и (2) с аR

Пусть x bR (b,x) R

Из (1) (b,c) R (c,x) R (b,x) R

Из (2) (a,c) R (a,x) R x aR

Значит, bR aR

Из а) и б) заключаем, что aR=bR.

Вывод: из Усл.1) и Усл.2) следует, что множество А разбивается отношением R на классы вида (*).

7. Теорема о соответствии каждому разбиению множества некоторого отношения эквивалентности.

Теорема 3. Каждому разбиению непустого множества на классы соответствует некоторое отношение эквивалентности на этом множестве.

Доказательство. Пусть A≠, и на нем задано некоторое разбиение на классы. Зададим на множестве А бинарное отношение R по следующему правилу

(**): (а,b)  R  элементы а и b находятся в одном классе.

Покажем, что бинарное отношение R является отношением эквивалентности:

1) Покажем, что R рефлексивно:

Пусть а  А  элемент а находится в одном классе с самим собой (**)(а,а) R  R-рефлексивно.

2) Покажем, что R симметрично:

Пусть (а,b) R. По (**), а и b в одном классе  b и а в одном классе. Тогда, согласно (**) (b,а) R R симметрично.

3) Покажем, что R транзитивно:

Пусть (а,b)  R и (b,с) R. (**)  а и b в одном классе и b и c в одном классе  a и c в одном классе (**)(а,с) R  R транзитивно.

Из 1)-3)  R - отношение эквивалентности.

Ч.т.д.

Пример. Найти отношение эквивалентности, соответствующие разбиениям множества А={1,2,3} из примера 1 предыдущего вопроса.

1) А1={1}, A2={2}, A3={3}

(**) R = {(1,1), (2,2), (3,3)}

2) C1= {1, 2}, C2= {3}

(**) R ={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3)}.