4. Бинарные отношения

Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.

В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерами отношений являются:

1) « » - на множестве ℝ.

2) « » - на множестве P(U).

3) « » - между множеством всех точек плоскости и множеством всех прямых:

M N K

a b c

Упорядоченные пары (M,a),(N,b),(K,c) удовлетворяют условию третьего пункта, а (M,b) не удовлетворяет условию третьего пункта.

Для того, чтобы определить бинарное отношение, достаточно задать множество объектов, для которых имеет смысл говорить о данном отношении, и выбрать из него те пары объектов, которые удовлетворяют рассматриваемому отношению.

Определение 15. Бинарным отношением между множествами A и B называется всякое подмножество множества .

Бинарные отношения обозначают следующим образом: . Если , то называется бинарным отношением на множестве A.

Замечание . Если , где , то говорят, что элемент находится в отношении с элементом , и часто пишут , т.е. .

Определение 16. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью определения бинарного отношения R называется множество первых координат всех пар из R, и обозначается Dom R, т.е. .

Определение 17. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью значений бинарного отношения R называется множество вторых координат всех пар из R, и обозначается Im R, т.е. .

Определение18. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Множество D(R)= Dom R Im R называется областью отношений бинарного отношения R.

Определение 19. Пусть - множества, n-арным отношением между множествами называется всякое подмножество множества .

При n=1 мы получаем унарные отношения, при n=2 - бинарные отношения, при n=3 – тернарные отношения.

5. Виды бинарных отношений

Определение 20. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если ∀a А: (а;a) R (т.е. aRa).

Пример. «=» на множестве ℝ.

Определение 21. Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным, если ∀а А: (a;a) R .

Пример. «<» на множестве ℝ.

Определение 22. Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если a,b A, из (а,b) R (b,a) R.

Пример. «∥» на множестве всех прямых в пространстве, «=» на множестве ℝ.

Определение 23. Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным, если a,b A, из (а,b) R и (b,a) R a=b.

Пример. Отношения ,=,<,> на множестве ℝ.

Определение 24. Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если a,b,с A, из (а,b) R и (b,с) R (а,с) R.

Пример. «∥» на множестве всех прямых в пространстве, отношения ,=,<,> на множестве ℝ

Cвойства отношений

Пусть = (a,a)|a A - диагональ декартова квадрата A²=A A.

Лемма 1. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда

1. R рефлексивно R;

2. R антирефлексивно R = .

Доказательство.

1) а) Необходимость. Пусть R рефлексивно. Покажем, что R. Действительно, = (а,а) |а А R по определению 20, т.к. ∀a А: (а;a) R R.

б) Достаточность. Пусть R. Покажем, что R рефлексивно. Пусть а А. Покажем, что (а,а) R. Так как (а,а) R, т.е. (а,а) R по определению 20 R рефлексивно.

2) а) Необходимость. Пусть R антирефлексивно. Покажем, что R = . Допустим, что R (x,y) R (x,y) R и (x,y) x=y, т.е. (x,x) R –противоречие с определением 21 допущение неверно R = .

б) Достаточность. Пусть R = . Покажем, что R антирефлексивно. Для этого достаточно показать, что R удовлетворяет определению 21. Пусть а А. Покажем, что (а,а) R. От противного, допустим, что (а,а) R (a,a) R = , противоречие (а,а) R. Лемма доказана.

Определение 25. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B.

Множество R^-1 = (m,n) | (n,m) R называется бинарным отношением, обратным бинарному отношению R.

Лемма 2. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда

1) R симметрично R^-1=R;

2) R антисимметрично R R^-1 .

Доказательство. 1) а) Необходимость. Пусть R симметрично. Методом встречных включений покажем, что R^-1=R.

Докажем, что R^-1 R . Действительно, R^-1 = (m,n) | (n,m) R . Но так как R симметрично, то, по определению 22, из (n,m) R следует (m,n) R R^-1 R.

Доказательство R R^-1 проводится аналогично.

б) Достаточность. Пусть R^-1=R. Покажем, что R симметрично. Пусть (n,m) R. Покажем, что (m,n) R. Так как (n,m) R= R^-1 (n,m) R^-1 (m,n) R R симметрично.

2) а) Необходимость. Пусть R антисимметрично. Покажем, что R R^-1 . Пусть (x,y) R R ^-1 (x,y) R ^-1 и (x,y) R (x,y) R и (y,x) R , и так как R антисимметрично x=y.

б) Достаточность. Пусть R - бинарное отношение на А и R R^-1 . Докажем, что R антисимметрично. Предположим, что это не так. Тогда найдётся хотя бы одна пара (a,b) R такая, что (b,a) R и a≠b (по определению R^-1) (a,b) R и (a,b) R^-1. Таким образом, (a,b) R R^-1 a=b, противоречие предположение неверно. Лемма доказана.

Определение 26. Пусть R, S - бинарные отношения на множестве А.

Множество R^.S={(x,y) | y A: (x,y) S и (y,z) R} называется произведением бинарных отношений R и S.

Лемма 3. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда R транзитивно R^.R R.