4. Вычисление пройденного пути

Найдем общую формулу для вычисления пройденного частицей пути S в промежутке времени от до , если известна зависимость модуля вектора скорости от времени .

Д опустим, что зависимость представлена графиком, показанным на рисунке 1.4. Разобьем мысленно проме-жуток времени – на N столь небольших отрезков , чтобы можно было считать скорость на отрезке неизменной. Тогда путь за каждый интервал находится по формуле , а весь путь:

. (1.15)

C геометрической точки зрения каждое из слагаемых в соотношении (1.15) представляет собой площадь прямоугольника высотой и основанием . Сумма (1.15) дает приблизительную площадь фигуры, ограниченной осью времени, графиком и прямыми t = и t = . Точное значение пути получится, если положить, что , а :

. (1.16)

Выражение (1.16) представляет собой определенный интеграл от в пределах от до :

(1.17)

При этом геометрически пройденный путь изображается площадью, ограниченной графифком , осью времени и вертикальными отрезками, изображающими значения скорости в начальный и конечный момент.

Если в соотношение (1.17) вместо подставить вектор , то, поскольку в соответствии с определением есть перемещение за , интеграл

(1.18)

даст перемещение частицы за – .

5. Средние значения

Традиционно (в быту) средней скоростью называют среднее значение модуля вектора скорости, которое, по определению, равно отношеню всего пути S, пройденного телом за некоторый промежуток времени – , к величине этого промежутка:

. (1.19)

Эту величину называют также средней путевой скоростью.

Соотношение (1.19) есть результат применения общей формулы для нахождения среднего значения скалярной или векторной функции на промежутке изменеия аргумениа от до :

. (1.20)

В частном случае, подставив в (1.20) в качестве вектор скорости, получим для среднего значения вектора скорости:

. (1.21)

Не следует путать понятие средней скорости частицы (1.19) со средним значением скорости для совокупности одинаковых объектов, например среденй скорости молекул, средней скорости автомобилей данного таксопарка в некоторый момент времени и т.п.

6. Ускорение

Ускорением называют векторную величину, характеризующую быстроту изменения вектора скорости, и количественно определяемую соотношением

(1.22)

Поскольку скорость (1.6) , то, по аналогии двумя составляющими вектора скорости, характеризующими изменение радиус-вектора частицы, логично выделить две составляющих ускорения:

. (1.23)

Направление составляющей совпадает с , т.е с касательной к траектории движения и скоростью, поэтому ее называют тангенциальным ускорением. Эта составляющая ускорения определяет быстроту изменения вектора скорости по модулю.

Составляющая направлена перпендикулярно скорости ( – производная орта) и называется нормальным ускорением. характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

Обсудим более подробно чем определяется нормальное ускорение. Легко понять, что быстрота изменения направления вектора скорости, а значит и нормального ускорения, будет тем больше, чем сильнее искривлена траектория и чем больше модуль скорости перемещения частицы по траектории. Для количественной характеристики степени скривленности траектории используется величина, называемая кривизной траектории: если при перемещении вдоль траектории на расстояние (см.рис.1.5) касательная к траектории (а значит и вектор скорости) поворачивается на угол , то кривизной траектории в данной ее точке называется:

. (1.24)

Величина R, обратная кривизне,

Гласно формуле (1.3)

(1.26)

.

где - орт нормали к траектории, направленный в сторону поворота касательной к траектории .

Путь который проходит частица за время с одной строны из геометрических соображений можно найти как

. (1.27)

С другой стороны – . (1.28)

Приравнивая правые части этих соотношений, находим:

. (1.29)

Тогда в соответствии с (1.23) Для

для нормального ускорения получаем:

. (1.30)

Полное ускорение

. (1.31)