В) Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F(x;y;y') = 0. (1)

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (1) можно разрешить отно­сительно у', то его записывают в виде

у' = f(х;у) (2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно произ­водной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Замечание. Уравнение (2) устанавливает связь (зависимость) между коор­динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у' = f(x; у) дает совокупность направлений (поле направлении) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по­рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на­зывается изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближен­ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по­лучить, если положить у' = с, т. е. f(x; у)= с.

Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения у' = 2х.

Р ешение: Уравнение изоклин этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу (х = с/2).

В точках прямых проведем отрезки, обра­зующие с осью Ох один и тот же угол , тангенс которого равен с.

Так, при с = 0 имеем х = 0, tg = 0, поэтому  = 0;

при с = 1 уравнение изоклины х = 1/2, поэтому tg  = 1 и  = 45°;

при с = -1: х = -1/2, tg  = -1 и  = -45°;

при с = 2: х = 1, tg  = 2 и  = arctg2 63° и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (рис. 2), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Итак, решение задач 1, 2, 3 привело нас к понятию дифференциального уравнения.

2. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения 1 – го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0, (3)

где Р(х;у) и Q(x;y) — известные функции. Уравнение (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож­но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно­жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи­нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является функция у = х², а также у = х² + 1, у = х² – ln2 и вообще у = х² + с, где с = const.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи­нить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х = х_о функция у должна быть равна заданному числу y_о, т.е. у = y_о называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

. (4)

Теорема Коши (существования и единственности решения для ДУ 1 порядка). Если в уравнении (2) функция f(x; y) и ее частная про­изводная f_y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (х_о;у_о), то существует единственное решение у = (х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4).

(Без доказательства).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (х_о;у_о).

Итак, теорема Коши определяет существование единственного решения дифференциального уравнения первого порядка.