10.3 Система уравнений Максвелла

С введением тока смещения теория электромагнитного поля была полностью завершена. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений, которая не только объяснила различные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых явлений, экспериментально подтвержденных в дальнейшем (объяснить природу света, определить скорость света и др.). Следствием из теории Максвелла является вывод о существовании электромагнитных волн.

До сих пор рассматривались отдельные части электромагнитной теории. Полную картину можно представить в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемых уравнениями Максвелла в неподвижных средах. В интегральной форме уравнения выражают соотношения между характеристиками электрического и магнитного полей зарядов и токов для мысленно проведенных в пространстве замкнутых контуров и поверхностей. Они имеют вид:

(1) (2)

(3) (4)

Уравнения (1-4) содержат всю совокупность сведений об электромагнитном поле. Они играют такую же роль в электродинамике, как уравнения Ньютона в механике. Основной задачей электродинамики является вычисление характеристик электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов, при этом параметры среды считаются известными.

Содержание уравнений заключается в следующем:

Первое уравнение связывает циркуляцию вектора электрического поля любой природы с изменениями во времени магнитного поля и по существу является выражением закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно определяет причину, характер и величину возникающего электрического поля.

Второе уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Оно утверждает, что магнитное поле возникает при движении электрического заряда (токи проводимости ) и при изменении электрического поля:

.

Принципиально новым является то, что магнитное поле может возникать в вакууме за счет изменения электрического поля и не связано с движением зарядов, т.е. в явлении, обратном электромагнитной индукции Фарадея.

Из уравнений (1, 2) видно, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать независимо, т.к. изменение во времени одного из них возбуждает другое и, наоборот. Поэтому, имеет смысл говорить о совокупности этих полей, т.е. об электромагнитном поле.

Однако, если поля стационарны, , , то уравнения распадаются на две группы независимых уравнений:

1) , 2) , .

В этом случае их можно изучать отдельно.

Уравнения (1) и (2) симметричны относительно электрического и магнитного полей, если не учитывать знаки перед производными и . Знак (-) в первом уравнении Максвелла связан с правилом Ленца и следует из закона сохранения энергии. Если бы знаки в уравнениях (1) и (2) совпадали, то небольшое увеличение электрического поля вызывало бы рост магнитного поля до бесконечности и, наоборот, уменьшение электрического поля приводило бы к уменьшению магнитного до его полного исчезновения.

Различие в знаках подчеркивает тот факт, что линии вихревого электрического поля, созданного изменением магнитного поля , образуют левовинтовую систему, а линии магнитного поля, созданного изменением электрического поля , образуют с вектором правовинтовую систему, рис.10.3.

Третье уравнение это теорема Гаусса, которую Максвелл обобщил для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Из уравнения видно, что источниками поля вектора являются сторонние заряды. Источниками поля вектора , заметим, есть как сторонние, так и связанные заряды. Это можно показать, записав для вектора , а для потока вектора : и . Подставляя последний интеграл в предыдущий, получим:

, т.е. действительно создается как сторонними так и связанными зарядами.

Четвертое уравнение это теорема Гаусса для вектора , обобщенная Максвеллом для всякого магнитного поля: стационарного и переменного, в вакууме и в среде. Оно указывает на то, что магнитное поле есть вихревое, что линии вектора замкнуты, что магнитные заряды отсутствуют в природе.

Приведенные рассуждения не являются доказательствами уравнений. Их нельзя “вывести”. Уравнения являются постулатами электродинамики, полученными в ходе обобщения экспериментальных данных.