Точки розриву і їх класифікація

Нехай функція визначена в околі точки за винятком, може бути, точки .

Точка називається точкою розриву функції , а функція називається розривною в точці , якщо в цій точці не виконується хоча б одна з трьох умов означення неперервності функції.

Проте характер розриву функцій може бути різноманітним і потребує більш детального опису.

Точка називається точкою усувного розриву, якщо існує , але або значення не визначене, або .

Усувний розрив можна ліквідувати (усунути), довизначивши або перевизначивши функцію усього в одній точці , покладаючи .

П

Рисунок 21

риклад 21. . Область визначення цієї функції . Функція елементарна, тому у всіх точках області визначення функція неперервна. Причому, для всіх

.

Оскільки існує

,

то функція має в точці усувний розрив. Графік цієї функції – парабола (рисунок 21) із “виколотою” точкою . Достатньо покласти додатково , і функція стане неперервною.

Інші типи розривів – неусувні.

Точка називається точкою розриву першого роду функції , якщо в цій точці функція має різні односторонні границі, тобто , , але .

У цьому випадку кажуть також, що функція має в точці скінчений стрибок .

Приклад 22.  . Область визначення цієї функції ^*) співпадає з усією віссю , але функція не є елементарною, отже, може мати розриви (рисунок 22). В інтервалах і вона задана елементарними функціями (окремий випадок лінійної функції ), тому неперервна. В точці маємо різні односторонні границі , . Виходить, точка – точка розриву першого роду. У цій точці функція має стрибок .

В

Рисунок 22

сі інші точки розриву називаються точками розриву другого роду. Зауважимо, що в точках розриву як першого, так і другого роду границя функції не існує.

П

Рисунок 23

риклад 23.     (рисунок 23). Область визначення , значить, функція, як елементарна, неперервна в кожному з інтервалів . Як ми вже переконалися раніш (приклад 9), односторонні границі при не існують

, , отже точка – точка розриву другого роду .

Приклад 24. Задано функцію і два значення аргументу . Потрібно: 1)  знайти границі функції при наближенні до кожного з заданих значень x зліва і справа; 2)  встановити, чи є дана функція неперервною або розривною для кожного з даних значень x; 3)  побудувати ескіз графіка поблизу точки розриву.

Р

Рисунок 24

озв’язання. Функція елементарна і визначена всюди за винятком (у цій точці знаменник показника степеня перетворюється в нуль), тобто область визначення функції . Виходить, функція неперервна в кожній точці , в тому числі в точці , і

.

Знайдемо односторонні границі в точці .

,

.

Оскільки одна з односторонніх границь не існує, то точка – точка розриву другого роду. Поведінку функції поблизу точки розриву наведено на рисунку 24.

Приклад 25. Функція задається різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Потрібно знайти точки розриву функції, якщо вони існують, і визначити їх тип. Побудувати графік функції.

Р

Рисунок 25

озв’язання. Кожна з функцій – елементарна і, отже, неперервна в усіх внутрішніх точках відповідного інтер­валу. Виходить, неперервна для всіх значень .

Залишається перевірити неперерв­ність у граничних точках і . Знайдемо односторонні границі і значення функції в цих точках.

,

, . Оскільки , то функція неперервна в точці .

Аналогічно ,

.

Оскільки обидві границі існують, але , то функція має в точці розрив першого роду (стрибок ). Будуємо графік функції (рисунок 25). На інтервалі графік – пряма , на інтервалі – парабола , на інтервалі – парабола .