Границі Окіл точки

Нагадаємо означення і властивості модуля (абсолютної величини) дійсного числа x:

.

Властивості: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

М

Рисунок 4 Рисунок 5

одуль має простий геометричний зміст: | x | дорівнює відстані числа x на числовій осі від нуля (рисунок 4). Тому нерівності задовольняють усі точки x, відстань яких від нуля менше δ (рисунок 5).

Аналогічно, дорівнює відстані точки x від точки a, отже, нерівності задовольняють усі точки числової осі, відстань яких від точки a менше δ .

Околом точки називається всякий інтервал , що містить точку .

Множина значень x, що задовольняють нерівності , називається δ-околом точки . Будемо позначати δ-окіл .

Т

Рисунок 6

аким чином, – це інтервал довжини 2δ з центром у точці з усунутою (виколотою) точкою (рисунок 6):

.

Правим δ–околом точки називається інтервал , а лівим δ-околом – інтервал .

Околом нескінченно віддаленої точки називається всякий інтервал виду .

Околом нескінченно віддаленої точки називається всякий інтервал виду .

Околом н

Рисунок 7

ескінченно віддаленої точки називається зовніш­ність будь-якого відрізка , тобто (рисунок 7).

Границя функції в точці

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі скінченої точки (у самій точці функція може бути і невизначена).

Число b називається границею функції f(x) при (або в точці ), якщо для будь-якого, як завгодно малого , знайдеться такий δ‑окіл цієї точки, що для всіх значень x із цього околу виконується нерівність . При цьому пишуть (читається: “b дорівнює границі ^*) функції f(x), коли x

прямує до ”) або (читається: “f(x), прямує до b, коли x прямує до ).

Означення означає, що значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа b, коли x стає достатньо близьким до .

Односторонні границі функції в точці

Число називається лівою границею функції f(x) у точці , якщо для будь-якого, як завгодно малого , знайдеться такий лівий δ‑окіл цієї точки, що для всіх значень виконується нерівність (тобто , залишаючись менше ). При цьому пишуть .

Число називається правою границею функції f(x) у точці , якщо для будь-якого, як завгодно малого , знайдеться такий правий δ‑окіл цієї точки, що для всіх значень виконується нерівність (тобто , залишаючись більше ). При цьому пишуть .

Л

Рисунок 8 Рисунок 9

іва границя в точці позначається також , а права границя – . Вони називаються односторонніми границями. На рисунку 8 наведений графік функції, що має в точці різні односторонні границі , а на рисунку 9 – функції, що має в точці однакові односторонні границі, але в самій точці невизначеної.

Теорема. Про зв’язок границь.

Для того, щоб існував необхідно і достатньо, щоб існували односторонні границі та і вони дорівнювали одна одній .

Границя функції в нескінченно віддаленій точці

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі нескінченно віддаленої точки або .

Число b називається границею функції f(x) при (або при ), якщо для будь-якого, як завгодно малого , знайдеться такий окіл цієї нескінченно віддаленої точки (відповідно, ), що для всіх значень x із цього околу виконується нерівність . При цьому пишуть (відповідно, ).

О

Рисунок 10

значення означає, що для достатньо віддалених від початку координат у відповідну сторону осі Ox значень аргументу x значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа b, тобто точки графіка як завгодно близькі до горизонтальної прямої . Така пряма називається горизонтальною асимптотою. На рисунку 10 наведено графік деякої функції, що має різні границі

і

,

і, виходить, дві різні асимптоти при і .

Я

Рисунок 11

к приклад конкретної функції, що має скінчені границі при , можна навести (рисунок 11).

,

.