Задачі для самостійного розв’язування

3.1. Проводячи рівносильні перетворення з використанням основних рівносильностей, доведіть, що всі формули є тавтологіями:

1. (P Q) ((P (Q R)) (P R))

2. P (Q (P Q))

3. P (P Q) та (P Q) P

4. (Р ® (Q Ù R)) «((Р ® Q) Ù (Р ® R))

5. ((P Q) (P Q)) P

6. (P R) ((Q R) ((P Q) R))

7. (P Q) ((P Q) P)

8. (P Q) (Q P)

9. (P Q) ((Q P) (P Q))

10. ((P Q) P) P

11. (P Q) (P Q)

12. (P R) ((P Q) (R Q))

13. (P (Q R)) ((P Q) (P R))

14. (A (B C)) ((A B) C)

15. (P (Q R)) (Q (P R))

16. (A (B (C (D (E F))))) ((A B C D E) F)

3.2. Застосовуючи рівносильні перетворення, приведіть наступні формули до можливо більш простої форми:

1. ((P Q) (P R))

2. (P Q) (P Q)

3. ((P Q) Q) ( P Q)

4. (P Q) ( P Q) (P Q)

5. ( P Q R) ( P Q R) (Q R)

6. (P Q® (R® Q Q P)) (P (P® P)) ® Q

7. ((P (P P®Q Q)) ®R) P (Q R)

8. (P (Q R®Q R)) (P P Q) P (Q (P P))

9. ( PÚQ) ®((PÚQ) ®P)

10. ( PÙ Q) Ú((P®Q) ÙP)

11. (P®Q) Ù(Q®P) Ù(PÚQ)

12. (P Q) (Q P) (R P)

13. (P R) (P R) (Q R) ( P Q R)

14. ((P Q) (Q P))

15. ( (P Q) (P Q R)) ( P R)

16. (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)

3.3. Наступні формули перетворіть рівносильним чином так, щоб вони містили у собі тільки операції Ø, Ú, Ù і, щоб заперечення було віднесено тільки до пропозиційних змінних і не стояло б перед дужками:

1. (X Y) ( X Z)

2. ( X Y) (X Y)

3. ((X Y Z) X) Z

4. ((X Y) Z) X

5. (X (Y Z)) X

6. (X ® Y) ® (YÙZ)

7. (XÙY) (XÙY)

8. (( X Y) ®Z) ® (Z Y)

9. ((X (Y Z)) ( Y X)) Y

10. ((X®Y) Ù(Y®Z)) ®(X®Z)

11. ((X Y) (Y X)) (X Y)

12. ((X Y) (Y X)) (Z X)

13. ((X Y) ( X Y)) ((X Y) ( X Y))

14. ((X Y) Z) (X Z)

15. (X (Y Z)) ((X Y) Z)

3.4. Проводячи рівносильні перетворення з використанням основних рівносильностей, доведіть, що всі формули є тотожно хибними (запереченнями):

1. X (X Y) (X Y)

2. X Y (X Y Z) Z

3. (X Y) (Y X) ((X Y) ( X Y))

4. ((X Y) ( X (X Y))) (( X (X Y)) (X Y))

5. ((X Y) (Y Z)) (X Z)

6. (X®Y) Ù(X® Y) ÙX

7. ((X Y) (X Z)) ((X Y) (X Z))

8. PÙ(QÙ( PÚ Q))

9. (((X®Y) Ù(Y®Z)) ®(X®Z))

10. (XÙY) (XÙY)

11. (A (B C)) (A (B C))

12. ((C B) A) (((C A) B) (A B))

13. ((A B) C) (((A B) A) C)

14. (( X Y) ( X Z)) ((X Y) (X Z))

15. ((( X®Y) Ù(Y® Z)) ®(X®Z))