Лабораторна робота10.

Тема: Булеві функції. Застосування булевих функцій до аналізу і синтезу релейно-контактних схем.

Мета: Засвоїти знання про функції алгебри логіки (булеві функції). Розкрити поняття функціональної повноти системи операцій алгебри висловлень. Сформувати навички і вміння використовувати булеві функції в теорії релейно-контактних схем. Вивчити методи застосування булевих функцій до аналізу і синтезу релейно-контактних схем.

План

• Загальні відомості про булеві функції.

• Булеві функції від одного та двох аргументів.

• Функціонально повні системи операцій алгебри висловлень.

• Застосування булевих функції в теорії релейно-контактних схем.

• Аналіз релейно-контактних схем.

• Синтез релейно-контактних схем.

Короткі теоретичні відомості

Означення. Булевою називається функція, значення якої, як і значення всіх її аргументів, належить заданій двохелементній множині.

Зафіксуємо цю двохелементну множину як {0,1}.

Тоді булева функція від n аргументів (n-місна) є відображенням множини {0,1}ⁿ на {0,1}. Таким чином, функції істинності алгебри висловлень є булевими функціями.

Булеву n-місну функцію f(X₁, X₂, …, X_n) можна задати:

1. безпосередньо таблицею істинності, на якій точно визначено, яке значення f відповідає кожній окремій упорядкованій n –ці (набору) значень аргументів X₁, X₂, …, X_n;

2. формулою, в якій задано операції, що їх треба виконати над значенням аргументів X₁, X₂, …, X_n , щоб отримати значення функції.

Число всіх n-місних булевих функцій дорівнює . Зокрема, число різних одномісних булевих функцій становить =4, для двомісних булевих функцій це число дорівнює =16, для тримісних – 256.

В табл. 1 перераховані всі булеві функції від одного аргументу.

Т а б л и ц я 1

X
0 1	0 0	0 1	1 0	1 1

f₀ (X)=0 - функція, тотожно рівна 0 (тотожний нуль),

f₁(X)=X - тотожна функція,

f₂(X)= ØX - функція, яку називають запереченням,

f₃(X)=1 - функція, тотожно рівна 1 (тотожна одиниця).

Перелічимо усі можливі булеві функції від двох аргументів у вигляді наступної таблиці

Т а б л и ц я 2

Аргументи

Булеві функції

X

Y

0

Ù

®'

X

¬'

Y

Å

Ú

¯

«

ØY

¬

ØX

®

ï

1

g0

g1

g2

g3

g4

g5

g6

g7

g8

g9

g10

g11

g12

g13

g14

g15

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Багато з перелічених функцій мають назви та спеціальні позначення. Наведемо їх, згрупувавши функції у пари за тим принципом, що кожна функція з пари є запереченням другої функції цієї ж пари:

g₀(X,Y)= 0 і g₁₅(X,Y)= l – тотожний нуль і тотожна одиниця.

g₁(X,Y) - називається кон’юнкцією і позначається XÙY (або X×Y).

g₁₄(X,Y) - називається штрихом Шеффера і позначається XïY. Таким чином, g₁₄(X,Y)= Ø(XÙY)=XïY.

g₇(X,Y) - називається диз’юнкцією і позначається XÚY.

g₈(X,Y) - є запереченням функції g₇(X,Y), називається стрілка Пірса (або функція Вебба) і позначається X¯Y. Отже, g₈(X,Y)= Ø(XÚY)=X¯Y.

g₁₃(X,Y) - називається імплікацією і позначається X®Y, тобто g₁₃(X,Y)=X®Y.

g₂(X,Y)=Ø(X®Y) - заперечення імплікації. Спеціальної назви вона не має (у табл. 2 позначена ®').

g₁₁(X,Y) - називається антиімплікацією або зворотньою імплікацією, g₁₁(X,Y)=Y®X (у табл. 2 позначена ¬).

g₄(X,Y)=Ø(Y®X) - заперечення функції g₁₁(X,Y). Спеціальної назви вона не має (у табл. 2 позначена ¬').

g₉(X,Y) - називається еквівалентністю і позначається X«Y, тобто g₉(X,Y)=X«Y.

g₆(X,Y) - є запереченням функції g₉(X,Y), називається додаванням за модулем два або сумою Жегалкіна, і позначається XÅY.

функції g₃(X,Y) і g₁₂(X,Y). Перша з них приймає завжди ті ж самі значення, що і її перший аргумент, тобто g₃(X,Y)=X, а друга функція є запереченням першої: g₁₂(X,Y)=ØX.

функції g₅(X,Y) і g₁₀(X,Y). Перша з них приймає завжди ті ж самі значення, що і її другий аргумент, тобто g₅(X,Y)=Y, а друга функція є запереченням першої: g₁₀(X,Y)=ØY .

Кожній формулі алгебри висловлень відповідає булева функція (функція істинності), що називається приєднаною функцією даної пропозиційної формули. Чи має місце обернене твердження , тобто, чи для кожної булевої функції існує формула алгебри висловлень, яка зображає або реалізує цю функцію.

Сформулюємо теорему, яка встановлює це твердження.

Теорема 1. Кожна булева функція зображується формулою алгебри висловлень, яка містить символи не більш ніж трьох логічних операцій – кон‘юнкції, диз‘юнкції, заперечення.

Зображення довільної булевої функції формулою алгебри висловлень, що містить символи тільки трьох операцій, обумовлює введення нового поняття функціональної повноти.

Означення. Система операцій алгебри висловлень називається функціонально повною, якщо кожну булеву функцію можна зобразити формулою, яка не містить жодних символів логічних операцій, крім тих, що входять у дану систему.

Використовуючи це означення, теорему 1 можна сформулювати так:

Система операцій {Ø,Ù,Ú} є функціонально повною.

Сформулюємо теорему, яка встановлює факт існування інших важливих функціонально повних систем операцій алгебри висловлень.

Теорема 2. Наступні системи операцій є функціонально повними:

1) {Ø,Ú }, 2) {Ø, Ù}, 3) {Ø,®}, 4) {Ù,Å,1}, 5) {®,0}, 6) {ï}, 7) {¯}.