Лабораторна робота7.
Тема: Логічне слідування.
Мета: Отримати загальні відомості про логічне слідування – центральне поняття логіки. Сформувати вміння та навички перевірки логічного слідування даної формули з формул – посилок. З‘ясувати важливу роль тавтологій як засобу встановлення факту логічного слідування. Сформувати вміння та навички застосування теорії логічного слідування до правильних міркувань.
План
Логічне слідування на базі алгебри висловлень.
Методи перевірки логічного слідування даної формули з формул – посилок.
Застосування теорії логічного слідування до правильних міркувань.
Короткі теоретичні відомості
Говорять, що пропозиційна формула В слідує логічно з пропозиційних формул A1, A2, …, Am якщо для будь-якого набору значень змінних, що входять до A1, A2, …, Am і В, значенням пропозиційної формули В є 1 щоразу, коли значення кожної пропозиційної формули Ai (1≤ i ≤ m) на цьому наборі є 1. У цьому випадку будемо писати A1, A2, …, Am |=B і читати «з A1, A2, …, Am логічно слідує В».
Якщо скористатися таблицями істинності, то A1, A2, …, Am |=B означає, що сукупність тих наборів, на яких істинна кожна пропозиційна формула (пф) A1, A2, …, Am знаходиться в сукупності тих наборів, на яких істинна пф В. Наприклад, P,PQ|=Q згідно до табл. 1, для P,PQ i Q (рядок 4).
Таблиця 1
P Q |
P |
|
Q |
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0 0 1 1 |
1 1 0 1 |
0 1 0 1 |
Поняття «логічне слідування» пов'язане з поняттям «тавтологія» наступною теоремою.
Теорема.
Формула В логічно слідує з посилок A1,
A2,
…, Am
(m
1)
тоді і тільки тоді, коли формула A1Ù
A2
Ù…Ù
Am
®В
є тавтологією.
Теорема встановлює признак того, що формула являється логічним слідством однієї чи більшої кількості формул. А це зводить питання про відношення логічного слідування, до аналізу певної формули алгебри висловлень – чи є вона тавтологією, чи ні? Тим самим з‘ясовується важлива роль тавтологій як засобу встановлення факту логічного слідування.
Наведене означення досить точно передає те інтуїтивне поняття логічного слідування, що використовується при дедуктивних висновках. Дійсно, висловлення w звичайно вважається логічним наслідком висловлень w1,w2,…,wm, якщо знання про істинність кожного w1,w2,…,wm дає істинність w без додаткової інформації. Якщо ж одне з w1,w2,…,wm хибне, то без додаткової інформації не можна стверджувати істинність w. Справді, висловлення w1,w2,…,wm і w можна вважати значеннями пф A1(X1,X2,…,Xn), A2(X1,X2,…,Xn), ..., Am(X1,X2,…,Xn) і B(X1,X2,…,Xn) для деякого набору v1,v2,…,vn значень змінних X1,X2,…,Xn. У будь-якому міркуванні в логіці висловлень (яке є набором висловлень) можна перевірити, чи буде істинність логічного наслідку цього міркування визначатися істинністю висловлень, які фігурують у ньому (якщо це підтверджується в даному міркуванні, то говорять, що воно логічно правильне).