4.13. Теорема карно

Сади Карно сформулировал теорему, которая состоит из двух частей. Первая часть этой теоремы утверждает, что коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей в интервале температур Т₁ и Т₂ (Т₁ - температура нагревателя и Т₂ - температура холодильника) не может быть больше к.п.д. машины, работающей по циклу Карно в том же интервале температур. Справедливость сформулированного Карно утверждения понять нетрудно, если вспомнить, что цикл Карно, подробно рассмотренный выше, состоит из двух изотерм и двух адиабат. На адиабатических участках цикла теплообмен вообще отсутствует, а на двух других участках цикла только изотермический процесс является единственно возможным равновесным процессом теплообмена между рабочим телом, нагревателем и холодильником. Любой другой процесс сопровождается изменением температуры системы на конечную величину, а теплообмен между двумя различно нагретыми телами - неравновесный необратимый процесс.

Поскольку в реальных тепловых машинах невозможно строго выдержать условия изотермичности процесса, то теплообмен в них осуществляется при конечной разности температур и поэтому сопровождается необратимым процессом теплопроводности. По этой причине к.п.д. любой реальной тепловой машины всегда меньше к.п.д. машины Карно. Используя выражение к.п.д. для любой машины, в том числе и той, в которой могут иметь место необратимые процессы, и к.п.д. машины, работающей по обратимому циклу Карно, утверждение первой части теоремы Карно можно представить в виде соотношения

,

(4.42)

где – к.п.д. обратимой машины Карно; – к.п.д. необратимой машины.

Знак равенства (4.42) относится к обратимому процессу, неравенства - к необратимому.

Таким образом, к.п.д. обратимого цикла Карно оказывается верхним пределом для к.п.д. тепловых машин, работающих в заданном интервале температур.

Вторая часть теоремы Карно утверждает, что к.п.д. машины, работающей по циклу Карно, не зависит от рабочего вещества и от конструкции двигателя.

Докажем вторую часть теоремы Карно. Проведем доказательство от противного. Допустим, что существуют две обратимые машины Карно, отличающиеся рабочим веществом и имеющие различные коэффициенты полезного действия. Пусть к.п.д. первой машины η > η' к.п.д. второй машины и пусть обе машины дают за цикл одинаковую работу, так что A = A'.

Воспользуемся полученными ранее соотношениями.

и . и .

Рис. 4.16

Из сделанного допущения, что η > η' и A = A' следует, что и . При соблюдении этих соотношений должно выполняться неравенство . Теперь из этих двух машин построим агрегат, в котором первая машина будет работать как двигатель, забирая от нагревателя теплоту Q₁, совершая работу А и передавая холодильнику тепло Q₂. Вторую машину с к.п.д. η' будем использовать как холодильник. Ее функция будет заключаться в том, что она забирает от холодильника теплоту и, совершая над рабочим телом работу , передает нагревателю количество теплоты . Описанный процесс представлен на схеме (рис. 4.16). Подведем итог работы рассмотренного агрегата. В результате его работы нагреватель получил количество теплоты , холодильник отдал количество теплоты . Полная работа, совершенная агрегатом за цикл, равна нулю. Итак, в итоге рассмотренного процесса удалось без совершения работы отнять теплоту от менее нагретого тела (холодильника) и передать ее более нагретому телу (нагревателю), что противоречит второму началу термодинамики. Можно провести доказательство и для случая, когда , используя машину с большим к.п.д. как двигатель, а вторую - как холодильник. Таким образом, вторую часть теоремы Карно можно считать доказанной.