8.4. Закон распределения молекул по скоростям
Распределение молекул по скоростям (Максвелл). В параграфе 8.3 мы ввели понятие средней квадратичной скорости молекул как средней характеристики скорости всех молекул газа, справедливо считая, что скорости конкретных молекул отличаются друг от друга даже в состоянии термодинамического равновесия.
Максвелл
установил закон, определяющий число
молекул
из общего числа молекул в единице объема
(концентрация молекул), которые обладают
при данной температуре
скоростями поступательного движения
в интервале от
до
:
, где
— масса молекулы,
—
постоянная Больцмана.
На
рисунке 60 приведена кривая распределения
молекул по скоростям. Число частиц
со скоростями в интервале от
до
равно площади криволинейной трапеции.
Очевидно, что вся площадь, ограниченная
кривой
равна концентрации молекул газа
.
С увеличением температуры газа максимум
кривой смещается в сторону больших
скоростей, а его высота уменьшается
(рис. 61).
Наиболее вероятная скорость молекул.
Из закона
распределения молекул по скоростям
можно определить наиболее вероятную
скорость молекул
.
Решая задачу на экстремум функции
,
получаем
.
Таким образом наиболее вероятная
скорость молекул меньше средней
квадратичной и зависит только от
температуры и массы (молярной массы)
молекул.
Закон
максвелловского распределения
молекул по скоростям может быть
записан в виде:
,
где скорости молекул
рассматриваются в единицах наиболее
вероятной скорости
.
Средняя арифметическая скорость молекул определяется интегралом
.
Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа:
— средняя
квадратичная скорость;
— средняя
арифметическая скорость;
— наиболее
вероятная скорость.
8.5. Барометрическая формула
Барометрическая формула. В реальных земных условиях на молекулы газ всегда действует сила тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к тому, что концентрация молекул и давление убывают с высотой.
Найдем закон
изменения давления газа с высотой. По
формуле Паскаля при увеличении высоты
на бесконечно малую величину
,
когда изменением плотности газа
можно пренебречь давление газа понизиться
на
:
.
Воспользуемся
уравнением состояния идеального газа
и заменим плотность по формуле
.
Тогда,
.
Считая
и интегрируя по высоте от
до
,
получаем:
,
или
— барометрическая
формула.
Здесь
— давление газа на высотах
и
.
8.6. Явления переноса
Газообразное
вещество представляет собой огромное
число мельчайших частиц (молекул)
диаметром
м,
пролетающих большие расстояния без
соударений (в среднем
м).
Средняя арифметическая скорость
равномерного движения молекулы при
обычных температурах велика
м/с,
поэтому столкновения происходят в
среднем через
с.
Можно считать, что молекулы сталкиваются
упруго.
Средняя длина свободного пробега
,
м — это среднее расстояние, которое
проходит частица от одного соударения
до следующего. Длина свободного пробега
должна зависеть от плотности частиц
газа
и от размеров молекулы. С увеличение
этих параметров
должно уменьшаться.
Эффективным
диаметром молекулы
считается диаметр шарика
,
за пределами которого молекула почти
не взаимодействует со своими соседями.
За
единицу времени молекула
сталкивается со всеми молекулами-мишенями,
центры которых лежат в цилиндре объемом
(рис.
62), тогда средняя частота столкновений
.
Если учитывать движение молекул–мишеней
в цилиндре, то это число увеличивается,
так как эффективный диаметр молекул-мишеней
при этом растет:
.
Тогда, средняя длина свободного
пробега
.
Если
учесть, что давление газа
(8.2), то при одинаковой температуре и
различных давлениях, имеем
.
Обратимые и не обратимые процессы. Не обратимыми называются процессы способные развиваться только в одном направлении. Примерами таких процессов являются процессы переноса, за счет которых в системе устанавливается термодинамическое равновесие. Это:
Диффузия — выравнивание концентрации вещества в объеме системы: вещество переходит из областей большей концентрации (плотности) в области с меньшей.
Диффузия
подчиняется закону Фика (1855), который в
простейшем случае одномерной диффузии
(плотность газа зависит только от одной
координаты
)
записывается в виде:
,
где
— удельный поток массы — масса вещества
диффундирующего за единицу времени
через единицу площади перпендикулярной
направлению переноса вещества;
— коэффициент диффузии.
— градиент плотности — скорость
изменения плотности в пространстве.
Теплопроводность — выравнивание температуры в объеме замкнутой системы, при этом теплота переходит только от горячего тела к холодному.
Теплопроводность
подчиняется закону Фурье (1822), который
в простейшем случае одномерной
теплопроводности (температура газа
зависит только от одной координаты
)
записывается в виде:
,
где
— плотность теплового потока — количество
теплоты (внутренней энергии), которое
переносится за единицу времени через
единицу площади перпендикулярной
направлению переноса;
— коэффициент теплопроводности
(теплопроводность). Теплопроводность
численно равна плотности теплового
потока при единичном градиенте температуры
К/м.
Внутреннее трение — выравнивание скоростей молекул системы. Области (слои), имеющие больший импульс (скорость) молекул, за счет соударений передают импульс (скорость) соседним областям (слоям). В результате процессов переноса импульса между областями возникают силы трения, направленные по касательной к поверхности соприкасающихся областей. Эти силы выравнивают скорости слоев.
Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона (1687)
,
где
— напряжение трения — сила касательная
к слою, действующая на единицу площади
слоя. Если сила ускоряет слой
,
тормозит —
.
называется динамической вязкостью
(коэффициент внутреннего трения). Она
численно равна напряжению при
с-1 .
— градиент скорости в направлении
внешней нормали к слою газа (жидкости).
Коэффициенты
явлений переноса зависят от средней
арифметической скорости
,
и средней длины свободного пробега
:
,
,
.
Процессы переноса переводят материю в состояние предельной дезорганизации (хаоса), которым является термодинамическое равновесие.
В реальных процессах всегда есть процессы переноса, поэтому они не обратимы, однако, если процессы переноса малы, процесс можно считать обратимым. Теоретическим примером обратимых процессов являются, рассмотренные ниже равновесные изопроцессы в идеальных газах (9.2).