Вопросы для самоконтроля

1. Приведите пример расчётной схемы разветвлённой цепи с четырьмя узлами.

2. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 1) уравнения для расчёта узловых потенциалов и расшифруйте условные обозначения проводимостей и произведений э.д.с. на проводимости.

3. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 1) выражения для расчёта сил токов, используя узловые потенциалы.

2.5. Эквивалентные преобразования

схем соединений сопротивлений

Рассмотрим расчётную схему цепи с последовательным соединением сопротивлений (рис.2.5).

С оставляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа:

U = U₁ + U₂ + U₃ ;

или

U = R₁I + R₂I + R₃I =

= (R₁ + R₂ + R₃)I = R_эI ,

где

R _э = R₁ + R₂ + R₃ – эквивалентное сопротивление последовательно соединённых сопротивлений.

Таким образом, заданную схему соединения сопротивлений (рис.2.5) можно заменить эквивалентной (рис.2.6). При эквивалентном преобразовании напряжение на зажимах цепи и сила тока в цепи не изменяются.

Рассмотрим расчётную схему цепи с параллельным соединением сопротивлений (рис.2.7).

Составляем уравнения по 1-му закону Кирхгофа:

I = I₁ + I₂ + I₃ .

Силы токов в ветвях равны:

I₁ = g₁U ; I₂ = g₂U ; I₃ = g₃U .

Подставив полученные значения в уравнение, составленное по 1-му закону Кирхгофа, получим:

I = g₁U + g₂U + g₃U =

= (g₁ + g₂ + g₃)U = g_эU ,

где

g_э = g₁ + g₂ + g₃ – эквивалентная проводимость параллельно соединённых сопротивлений.

Определяем эквивалентное сопротивление:

,

откуда

.

Таким образом, заданную схему соединения сопротивлений (рис.2.7) можно заменить эквивалентной. При эквивалентном преобразовании напряжение на зажимах цепи и сила тока в цепи не изменяются.

При расчётах электрических цепей часто бывает необходимо преобразовать схему соединения сопротивлений «треугольником» в «звезду» и наоборот.

Например, расчёт сил токов в ветвях рациональнее выполнять на основании схемы, приведенной на рис.2.9 (по сравнению со схемой, приведенной на рис.2.8).

По 1-му закону Кирхгофа для узла 0 «звезды» (рис.2.9) можем записать:

I₁ + I₂ + I₃ = 0,

где

I₁ = (₁ – _0’) g₁ ; I₂ = (₂ – _0’) g₂ ; I₃ = (₃ – _0’) g₃ .

Подставив эти значения сил токов в уравнение, составленное по 1-му закону Кирхгофа, получим:

₁ g₁ – _0’ g₁ + ₂ g₂ – _0’ g₂ + ₃ g₃ – _0’ g₃ = 0 .

Определим потенциал узла 0’ из полученного уравнения:

.

Подставив значение _0’ в выражение для силы тока I₁, получим:

где

g = g₁ + g₂ + g₃ .

По 1-му закону Кирхгофа для узла 1 «треугольника» (рис.2.8) можем записать:

I₁ + I₃₁ – I₁₂ = 0 ,

откуда

I₁ = I₁₂ – I₃₁ ,

где

I₁₂ = (₁ – ₂) g₁₂ ; I₃₁ = (₃ – ₁) g₃₁ .

Подставив эти значения сил токов в уравнение, составленное по 1-му закону Кирхгофа, получим:

I₁ = ₁ (g₁₂ + g₃₁) – ₂ g₁₂ – ₃ g₃₁ .

При эквивалентом преобразовании схем соединения сопротивлений потенциалы узлов 1, 2, 3 и силы токов I₁, I₂, I₃ не изменяются. Поэтому коэффициенты в полученных выражениях силы тока I₁ для схем соединения «звездой» и «треугольником» должны быть одинаковыми. Следовательно, можем записать:

;

,

и по аналогии

.

Если в полученных выражениях проводимости заменить сопротивлениями и выполнить преобразования, то получим выражения преобразования схемы соединения сопротивлений «звездой» в эквивалентную схему соединения «треугольником»:

;

;

.

Аналогично можно получить выражения преобразования схемы соединения сопротивлений «треугольником» в эквивалентную схему соединения «звездой»:

;

;

.

Пример 2.3

Выполнить эквивалентное преобразование схемы соединения сопротивлений «треугольником» в эквивалентную схему соединения сопротивлений «звездой» на примере расчётной схемы цепи, приведенной на рис.2.2.

Решение.

Составляем эквивалентную схему (рис.2.10) и определяем эквивалентные сопротивления:

Окончательно получим расчётную схему, приведенную на рис.2.11, и следующие значения сопротивлений:

R _1э = R₁ + R’₁ =

= 0,6 + 0,4 = 1 Ом ;

R_2э = R₂ + R’₂ =

= 1,2 + 0,8 = 2 Ом ;

R_3э = R₃ + R’₃ =

= 1,6 + 0,4 = 2 Ом .