2.3. Метод контурных токов

Для более рациональных расчётов используют методы, в основу которых положены законы Кирхгофа. Рассмотрим метод контурных токов на примере схемы, представленной на рис.2.3.

В ыбираем три независимых контура: 0–1–3–0; 0–1–2–0 и 1–2–3–1.

Допустим, что в каждом контуре проходят контурные токи I₁₁, I₂₂ и I₃₃, направленные по часовой стрелке.

Для каждого контура составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа. При этом учитываем, что в общей ветви независимых контуров проходит ток, равный разности контурных токов, которые протекают в этих контурах. Принимаем направления обходов контуров по часовой стрелке.

Составляем уравнение для контура 0–1–3–0:

(R₁ + R₆ + R₃)I₁₁ – R₁I₂₂ – R₆I₃₃ = Е₁ – Е₃ .

Вводим обозначения:

R₁ + R₆ + R₃ = R₁₁ ;

–R₁ = R₁₂ ;

–R₆ = R₁₃ ;

Е₁ – Е₃ = Е₁₁ .

Тогда уравнение для контура 0–1–3–0 будет иметь вид:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = Е₁₁ . (2.3)

Составляем уравнение для контура 0–1–2–0:

(R₁ + R₂ + R₄)I₂₂ – R₁I₁₁ – R₄I₃₃ = Е₂ – Е₁ .

Вводим обозначения:

R₁ + R₂ + R₄ = R₂₂ ;

–R₁ = R₂₁ ;

–R₄ = R₂₃ ;

Е₂ – Е₁ = Е₂₂ .

Тогда уравнение для контура 0–1–2–0 будет иметь вид:

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ = Е₂₂ . (2.4)

Составляем уравнение для контура 1–2–3–1:

(R₄ + R₅ + R₆)I₃₃ – R₆I₁₁ – R₄I₂₂ = 0 .

Вводим обозначения:

R₄ + R₅ + R₆ = R₃₃ ;

–R₆ = R₃₁ ;

–R₄ = R₃₂ ;

0 = Е₃₃ .

Тогда уравнение для контура 1–2–3–1 будет иметь вид:

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = Е₃₃ . (2.5)

В полученных уравнениях:

R₁₁, R₂₂, R₃₃ – полные или собственные сопротивления контуров;

R₁₂ = R₂₁, R₁₃ = R₃₁, R₂₃ = R₃₂ – сопротивления общих ветвей контуров

(берутся со знаком «+», если направления контурных токов в этой ветви совпадают, берутся со знаком «–», если направления контурных токов в этой ветви не совпадают);

Е₁₁, Е₂₂, Е₃₃ – контурные э.д.с.,

которые равны алгебраической сумме э.д.с. в соответствующем контуре.

Решив систему уравнений (2.3), (2.4), (2.5), находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃, а после этого истинные токи в ветвях:

I₁ = I₁₁ – I₂₂ , I₂ = I₂₂ , I₃ = I₁₁ , I₄ = I₃₃ – I₂₂ , I₅ = I₃₃ , I₆ = I₃₃ – I₁₁.

Пример 2.1

Для расчётной схемы, приведенной на рис.2.2, заданы следующие значения сопротивлений и э.д.с.:

R₁ = 0,6 Ом ; R₄ = 2,0 Ом ; Е₁ = 10 В ;

R₂ = 1,2 Ом ; R₅ = 2,0 Ом ; Е₂ = 60 В ;

R₃ = 1,6 Ом ; R₆ = 1,0 Ом ; Е₃ = 40 В .

Рассчитать силы токов в ветвях.

Решение.

Используем уравнения (2.3), (2.4), (2.5) и находим сопротивления и э.д.с.:

R₁₁ = 3,2 Ом ; R₂₂ = 3,8 Ом ; R₃₃ = 5,0 Ом ;

R₁₂ = –0,6 Ом ; R₂₁ = –0,6 Ом ; R₃₁ = –1,0 Ом ;

R₁₃ = –1,0 Ом ; R₂₃ = –2,0 Ом ; R₃₂ = –2,0 Ом ;

Е₁₁ = –30 В ; Е₂₂ = 50 В ; Е₃₃ = 0 В .

Учитывая полученные значения, запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы цепи:

3 ,2I₁₁ – 0,6I₂₂ – 1I₃₃ = –30 ;

–0,6I₁₁ + 3,8I₂₂ – 2I₃₃ = 50 ;

–1I₁₁ – 2I₂₂ + 5I₃₃ = 0 .

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей третьего порядка. Находим определитель системы:

Находим дополнения определителя:

Определяем силы контурных токов:

Определяем силы токов в ветвях схемы электрической цепи:

I₁ = I₁₁ – I₂₂ = –5 – 15 = –20 А ;

I₂ = I₂₂ = 15 А ;

I₃ = –I₁₁ = 5 А ;

I₄ = I₃₃ – I₂₂ = 5 – 15 = –10 А ;

I₅ = I₃₃ = 5 А ;

I₆ = I₃₃ – I₁₁ = 5 – (–5) = 10 А .