Вопросы для самоконтроля

1. Приведите пример расчётной схемы разветвлённой цепи с четырьмя узлами.

2. Обозначьте на приведенной расчётной схеме разветвлённой цепи (пункт 1) условно положительные направления токов и выберете направления контурных токов.

3. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 1) уравнения для расчёта контурных токов и расшифруйте условные обозначения полных сопротивлений контуров, сопротивления смежных ветвей, контурных э.д.с.

4. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 14) силы токов в ветвях через силы контурных токов.

2.4. Метод узловых потенциалов

Одним из путей расчёта сил токов на участках цепи является определение сначала потенциалов точек, а потом с их помощью напряжений и сил токов. Метод расчёта электрических цепей, в которых неизвестными принимаются потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Р ассмотрим суть этого метода, воспользовавшись расчётной схемой, представленной на рис.2.4. Потенциал узла 0 принимаем равным нулю (₀ = 0).

Составляем уравнения по 1-му закону Кирхгофа:

д ля узла 1: I₁ + I₆ – I₄ = 0 ;

для узла 2: I₂ + I₄ – I₅ = 0 ;

для узла 3: I₃ + I₅ – I₆ = 0 .

Изменим в этих уравнениях знаки на противоположные:

–I₁ – I₆ + I₄ = 0 ;

–I₂ – I₄ + I₅ = 0 ;

–I₃ – I₅ + I₆ = 0 .

Определяем силы токов в ветвях с помощью законов Ома для участков цепи с э.д.с. и без э.д.с.:

; ₀ = 0 ; – проводимость участка, См.

С учётом проводимостей получим:

I₁ = (–₁ + Е₁)g₁ ;

I₂ = (–₂ + Е₂)g₂ ;

I₃ = (–₃ + Е₃)g₃ ;

I₄ = (₁ – ₂)g₄ ;

I₅ = (₂ – ₃)g₅ ;

I₆ = (₃ – ₁)g₆ ,

где ₁ , ₂ , ₃ – потенциалы узлов 1, 2, 3, В.

Полученные выражения сил токов подставляем в уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа:

₁ g₁ – Е₁ g₁ + ₁ g₄ – ₂ g₄ + ₁ g₆ – ₃ g₆ = 0 ;

₂ g₂ – Е₂ g₂ + ₂ g₄ – ₁ g₄ + ₂ g₅ – ₃ g₅ = 0 ;

₃ g₃ – Е₃ g₃ + ₃ g₅ – ₂ g₅ + ₃ g₆ – ₁ g₆ = 0 .

После преобразования получим:

(g₁ + g₄ + g₆)₁ – ₂ g₄ – ₃ g₆ = Е₁ g₁ ;

–₁ g₄ + (g₂ + g₄ + g₅)₂ – ₃ g₅ = Е₂ g₂ ;

–₁ g₆ – ₂ g₅ + (g₃ + g₅ + g₆)₃ = Е₃ g₃ .

Вводим обозначения:

g₁ + g₄ + g₆ = g₁₁ ; g₄ = g₁₂ ; g₄ = g₂₁ ;

g₂ + g₄ + g₅ = g₂₂ ; g₅ = g₂₃ ; g₅ = g₃₂ ;

g₃ + g₅ + g₆ = g₃₃ ; g₆ = g₁₃ ; g₆ = g₃₁ ;

;

;

,

где g₁₁ , g₂₂ , g₃₃ – суммы проводимостей ветвей,

прилегающих соответственно к узлам 1, 2 и 3, См;

g₁₂ = g₂₁ , g₂₃ = g₃₂ , g₁₃ = g₃₁ – суммы проводимостей ветвей

соответственно между узлами 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3, См;

, , – алгебраическая сумма произведений э.д.с. источников

на соответствующие проводимости ветвей,

соединённых с рассматриваемым узлом

(произведение Еg берётся со знаком «+»,

если э.д.с. направлена к узлу;

со знаком «–», если э.д.с. направлена от узла), А.

С учётом введенных обозначений получим:

; (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

Пример 2.2

Используя значения параметров в примере 2.1, найти силы токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение.

Используем уравнения (2.6), (2.7), (2.8) и определяем проводимости и произведения э.д.с. на проводимости:

g₁ = 1,67 См ; g₄ = 0,5 См ; g₁₁ = 3,17 См ; ;

g₂ = 0,83 См ; g₅ = 0,5 См ; g₂₂ = 1,83 См ; ;

g₃ = 0,63 См ; g₆ = 1,0 См ; g₃₃ = 2,13 См ; .

После подстановки найденных значений в полученную систему уравнений получим:

3,17₁ – 0,5₂ – 1₃ = 16,7 ;

–0,5₁ +1,83₂ – 0,5₃ = 49,8 ;

–1₁ – 0,5₂ +2,13₃ = 25,2 .

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей третьего порядка. Находим определитель системы:

Находим дополнения определителя:

Определяем потенциалы узлов 1, 2 и 3:

Определяем силы токов в ветвях схемы электрической цепи: