Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Бийский педагогический государственный университет
им. В.М.Шукшина
Кафедра алгебры и геометрии
Л.М.Митрохина Линейные операторы Тексты лекций и образцы решения типовых задач
Учебное пособие
Бийск
2005
Митрохина Л.М.
Линейные операторы. Тексты лекций и образцы решения типовых задач: Учебное пособие. — Бийск, 2005. — 38с.
.
В учебном пособии рассматривается теория линейных отображений векторных пространств. Изложение теоретического материала сопровождается примерами, образцами решения типовых задач.
Пособие предназначено для студентов первого курса ФМФ.
Содержание
§1. Линейные отображения и операторы……………………………………………………….3
§2. Задание линейных отображений с помощью образов базисных векторов…………….5
§3. Задание линейных операторов матрицами……………………………………………...…6
§4. Связь между
координатными столбцами векторов х
и
……………………………8
§5. Область значений и ранг линейного оператора…………………………………..……....8
§6. Ядро и дефект линейного оператора………………………………………………………10
§7. Связь между координатами вектора относительно различных базисов……………...13
§8. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов....15
§9. Действия над линейными отображениями……………......................................................17
§10. Понятие линейной алгебры…………………………………………………………….….19
§11. Алгебра линейных операторов векторного пространства………………………….....20
§12. Обратимые линейные операторы…………………….......................................................25
§13. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора……………...27
§14. Характеристическое уравнение. Его инвариантность относительно замены
базиса…………………………………………………………………………………………...…28
§15. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице, приведение матриц к диагональному виду…………………..32
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………………39
Линейные операторы
§ 1. Линейные отображения и операторы
Рассмотрим гомоморфизмы векторных пространств, они называются также линейными отображениями.
Определение
Пусть U(P)
и V(P)
— векторные пространства. Отображение
f:
U
V
называется линейным отображением (или
гомоморфизмом),
если
Если линейное
отображение f:
U
V
инъективно, то оно называется изоморфизмом.
Определение
Линейное отображение пространства V в себя называется линейным оператором пространства V.
Рассмотрим некоторые свойства линейных отображений векторного пространства U(P) на векторное пространство V(P).
Свойство 1
Пусть f:
U
V
— линейное отображение. Тогда для любых
и любых
(1) 
Доказательство проведем индукцией по m.
Если m=1,
то
так как f
— линейное
отображение.
Предположим, что
Тогда
так как
— линейный оператор, то есть (1) справедлива.
Свойство 2
Пусть f:
U
V
— линейное отображение. Тогда f(
Доказательство
Примеры
1. Отображение E:
V
V,
такое, что
для любого
E(x)
= x,
является линейным оператором. Его называют единичным или тождественным
оператором.
2.
зафиксируем. Рассмотрим отображение
такое, что
есть
линейный оператор пространства V.
В самом деле, для любых
и любого
Оператор
называется
оператором
гомотетии с
коэффициентом
.
При
получим нулевой
оператор, при
получим тождественный
оператор.
3. Выясним, будет
ли линейным отображение
пространства
в себя, если для любого вектора
.
Проверим выполнимость
условий из определения линейного
отображения для
.
Возьмем любые
любое
то есть первое требование выполняется.
то есть второе требование выполняется.
Таким образом,
— линейный оператор пространства
